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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide , curva plana parametrizada por
Determine a equação da reta tangente à astroide no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente à curva chamada astroide, que está parametrizada por e , para entre 0 e . O ponto onde queremos essa reta tangente é . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a reta tangente em um ponto específico de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Sabemos que e . Vamos resolver essas equações para encontrar .
Passo 3
Vamos resolver . Tirando a raiz cúbica dos dois lados, temos . Mas isso é complicado, então vamos pensar que, para , . Calculando , que é exatamente o valor dado para e . Então, .
Passo 4
Agora que sabemos que , vamos encontrar as derivadas e , que vão nos ajudar a encontrar a inclinação da reta tangente. As derivadas são:
Passo 5
Vamos avaliar essas derivadas em :
Passo 6
A inclinação m = 3raiz24-3raiz24 = -1 da reta tangente é dada por . Vamos calcular isso:
Passo 7
Agora que temos a inclinação y - y1 = m(x - x1) e sabemos que a reta passa pelo ponto y - raiz24 = -1(x - raiz24) , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta: