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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide A subset R^2, curva plana parametrizada por
x=cos ^3(t), y=sen^3(t), 0 <= t <= 2 pi
Determine a equação da reta tangente à astroide no ponto P=(raiz24, raiz24) in A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente à curva chamada astroide, que está parametrizada por e , para entre 0 e . O ponto onde queremos essa reta tangente é . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a reta tangente em um ponto específico de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Sabemos que e . Vamos resolver essas equações para encontrar .

Passo 3

Vamos resolver . Tirando a raiz cúbica dos dois lados, temos . Mas isso é complicado, então vamos pensar que, para , . Calculando , que é exatamente o valor dado para e . Então, .

Passo 4

Agora que sabemos que dxdt = -3cos^2(t)sin(t) , vamos encontrar as derivadas dydt = 3sin^2(t)cos(t) e , que vão nos ajudar a encontrar a inclinação da reta tangente. As derivadas são:

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas em dxdtg|t = pi4 = -3(cos(pi4))^2sin(pi4) = -3(raiz22)^2(raiz22) = -3(12)(raiz22) = -3raiz24 :
dydtg|t = pi4 = 3(sin(pi4))^2cos(pi4) = 3(raiz22)^2(raiz22) = 3(12)(raiz22) = 3raiz24

Passo 6

A inclinação m = 3raiz24-3raiz24 = -1 da reta tangente é dada por . Vamos calcular isso:

Passo 7

Agora que temos a inclinação y - y1 = m(x - x1) e sabemos que a reta passa pelo ponto y - raiz24 = -1(x - raiz24) , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à astroide em é .

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