Determine se a sequência é crescente ou decrescente e encontre o seu limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência recursiva
e
. O conteúdo é estudo de recorrências em sequências: vamos analisar monotonicidade (ou melhor, das subsequências) e calcular o limite assumindo convergência.
Passo 2
Para achar o limite
, suponha que
. Então, em limite, temos
Rearranjando, dá
, cujas raízes são
. Como
, fica
Passo 3
Mostramos agora que os termos ficam alternando em torno de
. Note que
Logo o sinal de
é oposto ao de
. Como
, segue que os termos de índice ímpar ficam abaixo de
e os de índice par acima de
.
Passo 4
Definindo as subsequências
e usando a função
, que é estritamente decrescente em
, obtemos:
— Como , então
— Como
ou seja,
é crescente.
— Como , então
— Como
ou seja,
é decrescente.
Passo 5
Tanto
quanto
estão limitadas por
e são monótonas, logo convergem. Como têm de convergir ao mesmo limite da recorrência, ambas vão para
. Portanto a sequência
também converge para esse valor.
Resposta
A sequência não é monotônica: a subsequência de índices ímpares é crescente, a de índices pares é decrescente. O limite é
.