Determine se a sequência é crescente ou decrescente e encontre o seu limite.
a1=1, an+1=1+1an

Passo 1

O enunciado dá a sequência recursiva a1=1 e an+1=1+tfrac1an. O conteúdo é estudo de recorrências em sequências: vamos analisar monotonicidade (ou melhor, das subsequências) e calcular o limite assumindo convergência.

Passo 2

Para achar o limite L, suponha que anto L. Então, em limite, temos
L=1+1L
Rearranjando, dá L^2-L-1=0, cujas raízes são tfrac1pmraiz52. Como an>0, fica
L=1+raiz52

Passo 3

Mostramos agora que os termos ficam alternando em torno de L. Note que
an+1-L=l(1+tfrac1anr)-l(1+tfrac1Lr)=L-ananL=-an-LanL
Logo o sinal de an+1-L é oposto ao de an-L. Como a1=1, segue que os termos de índice ímpar ficam abaixo de L e os de índice par acima de L.

Passo 4

Definindo as subsequências
cn=a2n-1, bn=a2n,
e usando a função f(x)=1+1/x, que é estritamente decrescente em (0,infty), obtemos:
— Como bn>cn, então
f(bn)cn,
ou seja, (cn) é crescente.
— Como cn+1>cn, então
f(cn+1)
ou seja, (bn) é decrescente.

Passo 5

Tanto (cn) quanto (bn) estão limitadas por L e são monótonas, logo convergem. Como têm de convergir ao mesmo limite da recorrência, ambas vão para L=tfrac1+raiz52. Portanto a sequência (an) também converge para esse valor.

Resposta

A sequência não é monotônica: a subsequência de índices ímpares é crescente, a de índices pares é decrescente. O limite é 1+raiz52.

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