Determine se a sequência é crescente ou decrescente e encontre o seu limite.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
O objetivo é descobrir se essa sequência é crescente ou decrescente e encontrar o seu limite. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de sequências, monotonicidade (crescente ou decrescente) e limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para identificar um padrão.
- $ a_1 = 1 $
- $ a_2 = \frac{1}{3 - 1} = \frac{1}{2} $
- $ a_3 = \frac{1}{3 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} $
- $ a_4 = \frac{1}{3 - \frac{2}{5}} = \frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13} $
Observamos que os termos estão diminuindo: 1, 1/2, 2/5, 5/13,…
Passo 3
Agora, vamos verificar matematicamente se a sequência é de fato decrescente. Uma sequência é decrescente se cada termo posterior for menor que o anterior, ou seja, se $ a_{n+1} < a_n $ para todo $ n $.
Vamos supor que $ a_{n} > a_{n+1} $, então:
Multiplicando ambos os lados por $ 3 - a_{n} $ (que é positivo, pois $ a_n < 3 $):
Resolvendo a inequação quadrática $ a_n^2 - 3a_n + 1 < 0 $, encontramos que para $ a_n $ entre as raízes, a inequação é satisfeita. Como nossos termos estão sempre menores que 3, a sequência é decrescente.
Passo 4
Para encontrar o limite da sequência, vamos chamar o limite de $ L $. Quando a sequência converge, $ a_{n+1} $ e $ a_n $ tendem a $ L $. Assim, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por $ 3 - L $:
Resolvendo a equação quadrática:
Como a sequência é decrescente e começa em 1, descartamos a solução maior $ \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $ e ficamos com:
Resposta
A sequência é decrescente e seu limite é $ \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $.