Determine se a sequência dada é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre seu limite.
b) \left\{\frac{e^{n}}{n}\right\};

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{e^{n}}{n},
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é crescimento de sequência envolvendo função exponencial e polinomial, e vamos usar o teste da razão para sequências.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\tfrac{e^{n+1}}{\,n+1\,}}{\tfrac{e^{n}}{n}} = e \,\frac{n}{n+1}.
Como
\lim_{n\to\infty}e\,\frac{n}{n+1} = e\cdot1 = e>1,
o teste da razão nos diz que a sequência cresce sem limite superior finito.

Passo 3

Quando a razão entre termos tende a um valor maior que 1, a sequência diverge para +\infty. Isto confirma que o numerador e^n cresce muito mais rápido que o denominador n.

Resposta

A sequência diverge para +\infty.

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