Determine se a sequência dada é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre seu limite.
c) \left\{n \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{n}\right)\right\};

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = n \,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\pi}{n}\Bigr)
e pede para determinar se ela converge ou diverge.
Conteúdo: limites de sequência envolvendo função seno e o limite fundamental
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.

Passo 2

Introduzimos a variável auxiliar
x_{n} = \frac{\pi}{n},
de modo que x_{n}\to 0 quando n\to\infty. Reescrevemos
a_{n} = n\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr) = \frac{\operatorname{sen}(x_{n})}{x_{n}}\;\pi.

Passo 3

Como x_{n}\to 0, usamos o limite conhecido
\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}(x_{n})}{x_{n}} =\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
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\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}(x_{n})}{x_{n}}\;\pi =1\cdot\pi =\pi.

Resposta

A sequência converge e seu limite é \pi.

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