Determine se a sequência dada é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre seu limite.
d) \left\{\frac{n+1}{2 n-1}\right\};

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{n+1}{2n-1},
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência racional, que podemos fazer comparando graus de n ou dividindo numerador e denominador por n.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por n:
\frac{n+1}{2n-1} = \frac{\dfrac{n}{n} + \dfrac{1}{n}}{\dfrac{2n}{n} - \dfrac{1}{n}} = \frac{1 + \tfrac{1}{n}}{2 - \tfrac{1}{n}}.
À medida que n\to\infty, temos \tfrac{1}{n}\to0.

Passo 3

Substituindo o comportamento assintótico,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1 + \tfrac{1}{n}}{2 - \tfrac{1}{n}} = \frac{1 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}.
Como o limite existe e é finito, a sequência é convergente.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é \tfrac{1}{2}.

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