Determine se a sequência dada é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre seu limite.
a) \left\{\frac{2 n^{2}+1}{3 n^{2}-4}\right\};

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle a_n = \frac{2n^2+1}{3n^2-4}
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o limite. O conteúdo aqui é limite de sequência racional em que o grau do numerador e do denominador são iguais.

Passo 2

Quando o grau do polinômio do numerador e do denominador é o mesmo, basta comparar os coeficientes dos termos de maior grau. Aqui, o termo de maior grau em ambos é n^2. Podemos escrever:
a_n = \frac{2n^2+1}{3n^2-4} = \frac{n^2\bigl(2 + \tfrac{1}{n^2}\bigr)}{n^2\bigl(3 - \tfrac{4}{n^2}\bigr)}

Passo 3

Ao extrair n^2 de numerador e denominador, obtemos
a_n = \frac{2 + \tfrac{1}{n^2}}{3 - \tfrac{4}{n^2}}.
Agora, fazemos n\to\infty. Os termos \tfrac{1}{n^2} e \tfrac{4}{n^2} vão a zero, logo
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{2 + 0}{3 - 0} = \frac{2}{3}.

Passo 4

Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência é convergente.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é \tfrac{2}{3}.

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