Determine se a sequência dada é convergente ou divergente.
n2^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência $ \left{ \frac{n}{2^{n+1}} \right} $ é convergente ou divergente. Isso faz parte do conteúdo de Análise de Sequências. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como as sequências se comportam quando $ n $ cresce e usar alguns conceitos básicos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na forma da sequência: $ \frac{n}{2^{n+1}} $. Aqui, o numerador é $ n $, que cresce linearmente conforme $ n $ aumenta. O denominador é $ 2^{n+1} $, que é uma função exponencial e cresce muito mais rápido que o numerador.

Passo 3

Para entender o comportamento da sequência, vamos analisar o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Sabemos que funções exponenciais dominam funções polinomiais (como o termo $ n $) no crescimento. Isso significa que, conforme $ n $ fica muito grande, o denominador vai aumentar muito mais rápido que o numerador.

Passo 4

Vamos simplificar um pouco a expressão para facilitar o cálculo do limite:
n2^n+1 = n2 cdot 2^n = n2 cdot 12^n
Agora, fica claro que temos $ \frac{n}{2} $ multiplicado por $ \frac{1}{2^{n}} $. Como $ 2^{n} $ cresce exponencialmente, $ \frac{1}{2^{n}} $ tende a zero rapidamente.

Passo 5

Então, o limite se torna:
limn to infty n2 cdot 12^n = 12 cdot limn to infty n2^n = 0
Porque $ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = 0 $, já que o denominador cresce muito mais rápido.

Resposta

A sequência $ \left{ \frac{n}{2^{n+1}} \right} $ é convergente e seu limite é 0.

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