Determine se a sequência dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência $ \left{ \frac{n}{2^{n+1}} \right} $ é convergente ou divergente. Isso faz parte do conteúdo de Análise de Sequências. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como as sequências se comportam quando $ n $ cresce e usar alguns conceitos básicos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na forma da sequência: $ \frac{n}{2^{n+1}} $. Aqui, o numerador é $ n $, que cresce linearmente conforme $ n $ aumenta. O denominador é $ 2^{n+1} $, que é uma função exponencial e cresce muito mais rápido que o numerador.
Passo 3
Para entender o comportamento da sequência, vamos analisar o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Sabemos que funções exponenciais dominam funções polinomiais (como o termo $ n $) no crescimento. Isso significa que, conforme $ n $ fica muito grande, o denominador vai aumentar muito mais rápido que o numerador.
Passo 4
Vamos simplificar um pouco a expressão para facilitar o cálculo do limite:
Agora, fica claro que temos $ \frac{n}{2} $ multiplicado por $ \frac{1}{2^{n}} $. Como $ 2^{n} $ cresce exponencialmente, $ \frac{1}{2^{n}} $ tende a zero rapidamente.
Passo 5
Então, o limite se torna:
Porque $ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = 0 $, já que o denominador cresce muito mais rápido.
Resposta
A sequência $ \left{ \frac{n}{2^{n+1}} \right} $ é convergente e seu limite é 0.