Determine se a sequência dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de sequências numéricas e convergência, que nos ajudam a entender o comportamento de uma sequência à medida que o índice $ n $ cresce infinitamente. Precisaremos analisar o comportamento geral da sequência e verificar se ela se aproxima de um determinado valor quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a sequência dada:
. Aqui, o termo geral da sequência é $ a_n = 3 - (-1)^{n-1} $.
Vamos simplificar $ (-1)^{n-1} $:
- Quando $ n $ é ímpar, $ n-1 $ é par, então $ (-1)^{n-1} = 1 $.
- Quando $ n $ é par, $ n-1 $ é ímpar, então $ (-1)^{n-1} = -1 $.
Isso significa que a sequência alterna entre:
- $ a_n = 3 - 1 = 2 $ quando $ n $ é ímpar.
- $ a_n = 3 - (-1) = 4 $ quando $ n $ é par.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da sequência à medida que $ n $ aumenta:
- Para $ n = 1 $ (ímpar): $ a_1 = 2 $
- Para $ n = 2 $ (par): $ a_2 = 4 $
- Para $ n = 3 $ (ímpar): $ a_3 = 2 $
- Para $ n = 4 $ (par): $ a_4 = 4 $
- E assim por diante…
Observamos que a sequência oscila entre 2 e 4 indefinidamente à medida que $ n $ aumenta. Não há um único valor para o qual a sequência está se aproximando.
Resposta
A sequência
é divergente, pois não se aproxima de nenhum valor fixo à medida que $ n $ tende ao infinito.