Determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a sequência
é crescente (isto é,
para todo
), decrescente (
para todo
) ou não–monótona (muda de sentido). Para isso, vamos estudar o sinal de
Passo 2
Calculemos a diferença
Colocando num único quociente, obtemos
O denominador é sempre positivo (pois
e
), então o sinal de
é o mesmo do numerador
Passo 3
Repare que
oscila entre
e
de modo aparentemente irregular quando
cresce. Logo o valor de
pode tanto ultrapassar
(para certos
) quanto ficar abaixo de
(para outros
). Consequentemente, o numerador
muda de sinal indefinidamente. Isso mostra que às vezes
(subida) e às vezes
(descida).
Passo 4
Para ver de forma concreta, basta avaliar alguns termos:
Como há pelo menos uma subida e depois uma descida, a sequência não pode ser nem crescente nem decrescente em todo
.
Resposta
A sequência é não–monótona.