Determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
1n+sen n^2

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência
an = 1n + sen(n^2)
é crescente (isto é, an+1>an para todo n), decrescente ( an+1<an para todo n) ou não–monótona (muda de sentido). Para isso, vamos estudar o sinal de
an+1-an

Passo 2

Calculemos a diferença
an+1-an = 1(n+1)+senl((n+1)^2r) ;-;1n+sen(n^2)
Colocando num único quociente, obtemos
an+1-an = l(n+sen(n^2)r)-l((n+1)+sen((n+1)^2)r) l((n+1)+sen((n+1)^2)r),(n+sen(n^2))
O denominador é sempre positivo (pois -1<=sen<=1 e n>=1), então o sinal de an+1-an é o mesmo do numerador
Nn = -1 + sen(n^2) - senl((n+1)^2r)

Passo 3

Repare que sen(n^2) oscila entre -1 e 1 de modo aparentemente irregular quando n cresce. Logo o valor de
sen(n^2) - senl((n+1)^2r)
pode tanto ultrapassar 1 (para certos n) quanto ficar abaixo de 1 (para outros n). Consequentemente, o numerador
Nn = -1 + l[sen(n^2) - sen((n+1)^2)r]
muda de sinal indefinidamente. Isso mostra que às vezes an+1-an>0 (subida) e às vezes an+1-an<0 (descida).

Passo 4

Para ver de forma concreta, basta avaliar alguns termos:
a1 = 11+sen(1) approx 11+0,84 approx 0,54,
a2 = 12+sen(4) approx 12-0,76 approx 0,80 Longrightarrow a2>a1,
a3 = 13+sen(9) approx 13+0,41 approx 0,29 Longrightarrow a3<a2
Como há pelo menos uma subida e depois uma descida, a sequência não pode ser nem crescente nem decrescente em todo n.

Resposta

A sequência é não–monótona.

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