Determine o vetor normal unitário mathbfN(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
mathbfN(t)=d widehatT / d t|d widehatT / d t|
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário.
mathbfr(t)=t mathbfi-2 t^2 mathbfj+3 t^3 mathbfk

Passo 1

O enunciado pede o vetor normal unitário N(t) para a curva
r(t)=t,i-2t^2,j+3t^3,k
usando a definição
N(t)=dfracdwidehatTdt|dfracdwidehatTdt|,
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário. Vamos precisar de cálculo de derivadas, normas de vetores e a regra do quociente para derivadas vetoriais.

Passo 2

Calculamos a velocidade e sua norma:
v(t)=r'(t)=lang<= 1,,-4t,,9t^2rang<=,
|v(t)|=raiz1+16t^2+81t^4

Passo 3

Obtemos o vetor tangente unitário:
widehatT(t) =v(t)|v(t)| =lang<= 1,,-4t,,9t^2rang<=raiz1+16t^2+81t^4

Passo 4

Derivamos widehatT(t) em relação a t. Aplicando a regra do quociente:
dwidehatTdt =raiz1+16t^2+81t^4;lang<= 0,-4,18trang<= -lang<= 1,-4t,9t^2rang<=;ddtl(raiz1+16t^2+81t^4r) l(raiz1+16t^2+81t^4r)^2
Fazendo as derivadas e simplificando imprime-se o numerador vetorial
lang<= -16t-162t^3,,-4+324t^4,,18t+144t^3rang<=
e o denominador l(1+16t^2+81t^4r)^3/2.

Passo 5

O vetor dwidehatTdt vale então
dwidehatTdt =lang<= -16t-162t^3,,-4+324t^4,,18t+144t^3rang<= l(1+16t^2+81t^4r)^3/2

Passo 6

A norma desse vetor é
l|tfracdwidehatTdtr| =raiz(-16t-162t^3)^2+(-4+324t^4)^2+(18t+144t^3)^2 l(1+16t^2+81t^4r)^3/2

Passo 7

Finalmente, o vetor normal unitário é
N(t) =dfracdwidehatTdt|dfracdwidehatTdt| =lang<= -16t-162t^3,,-4+324t^4,,18t+144t^3rang<= raiz(-16t-162t^3)^2+(-4+324t^4)^2+(18t+144t^3)^2

Resposta

N(t) = 1raiz(-16t-162t^3)^2+(-4+324t^4)^2+(18t+144t^3)^2 -16t-162t^3[6pt] -4+324t^4[6pt] 18t+144t^3 ]

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