Calcular
, onde
é parte da curva dada por
contida no primeiro quadrante e percorrida no sentido horário.
Passo 1
O enunciado nos pede calcular a integral de linha
onde
é o arco da elipse
no primeiro quadrante, percorrido no sentido horário.
O conteúdo aqui é parametrização de curvas e mudança de variável em integrais.
O conteúdo aqui é parametrização de curvas e mudança de variável em integrais.
Passo 2
Para parametrizar o arco no primeiro quadrante com orientação horária, escolhemos
De fato, para todo
vale
em
obtemos
e em
obtemos
, seguindo o sentido horário.
Passo 3
Calculamos as diferenciais
então o numerador fica
O denominador é
Logo o integrando em
é
Passo 4
Para calcular
fazemos a mudança de variável
de modo que
Os limites em
são
e
.
Passo 5
Substituindo, a integral fica
Calculamos
portanto o valor da integral é