Calcular integralC x d x+y d yraiz1+x^2+y^2, onde C é parte da curva dada por 9 x^2+4 y^2=36 contida no primeiro quadrante e percorrida no sentido horário.

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral de linha
integralCx,dx+y,dyraiz1+x^2+y^2
onde C é o arco da elipse
9x^2+4y^2=36
no primeiro quadrante, percorrido no sentido horário.
O conteúdo aqui é parametrização de curvas e mudança de variável em integrais.

Passo 2

Para parametrizar o arco no primeiro quadrante com orientação horária, escolhemos
x(t)=2sin t, y(t)=3cos t, tin[0,tfracpi2]
De fato, para todo t vale
x(t)^24+y(t)^29=sin^2t+cos^2t=1,
em t=0 obtemos (0,3) e em t=tfracpi2 obtemos (2,0), seguindo o sentido horário.

Passo 3

Calculamos as diferenciais
dx=2cos t,dt, dy=-3sin t,dt,
então o numerador fica
x,dx+y,dy =(2sin t)(2cos t,dt)+(3cos t)(-3sin t,dt) =(4sin tcos t-9sin tcos t),dt =-5sin tcos t,dt
O denominador é
raiz1+x^2+y^2 =raiz1+4sin^2t+9cos^2t =raiz5(1+cos^2t) =raiz5,raiz1+cos^2t
Logo o integrando em t é
-5sin tcos traiz5,raiz1+cos^2t =-raiz5,sin tcos traiz1+cos^2t

Passo 4

Para calcular
integral0^pi2-raiz5,sin tcos traiz1+cos^2t,dt
fazemos a mudança de variável
u=1+cos^2t, du=-2sin tcos t,dt,
de modo que
sin tcos t,dt=-tfrac12,du
Os limites em u são u(0)=2 e u(tfracpi2)=1.

Passo 5

Substituindo, a integral fica
-raiz5 integral0^pi2 sin tcos traiz1+cos^2t,dt = -raiz5integral2^1-tfrac12,duraizu =raiz52integral2^1u^-1/2du
Calculamos
integral2^1u^-1/2du =l[2u^1/2r]2^1 =2(1-raiz2),
portanto o valor da integral é
raiz52,2(1-raiz2) =raiz5,(1-raiz2)

Resposta

raiz5,l(1-raiz2r)

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