O Sistema de Amortização Price define o valor de cada uma das N parcelas iguais como
P=\frac{V i}{1-\frac{1}{(1+i)^{N}}},,
em que V é o valor inicial, i é a taxa de juros.
Qual o valor de cada parcela se N \rightarrow \infty ?

Passo 1

O enunciado dá a fórmula das parcelas iguais no Sistema Price:
P=\frac{V\,i}{1-\dfrac{1}{(1+i)^{N}}},
onde:
  • V é o valor inicial (principal);
  • i é a taxa de juros por período;
  • N é o número de parcelas.
O que a questão pede: calcular o valor de cada parcela quando N \rightarrow \infty. Ou seja, avaliar o limite
\lim_{N\to\infty} P.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de uma forma ligeiramente mais prática para trabalhar com limites. Multiplicando numerador e denominador por (1+i)^{N} (ou apenas observando a potência negativa) obtemos uma forma equivalente:
P=\frac{V\,i}{1-(1+i)^{-N}}.
Essa forma deixa claro que o comportamento de P quando N\to\infty depende do comportamento de (1+i)^{-N} quando N\to\infty.

Passo 3

Vamos estudar o comportamento de (1+i)^{-N} quando N\to\infty. Há alguns casos para a base 1+i, e vou tratar os mais relevantes:
  • Se 1+i>1 (ou seja, i>0), então (1+i)^{N}\to\infty quando N\to\infty. Logo
(1+i)^{-N}=\frac{1}{(1+i)^{N}}\to 0.
  • Se 1+i=1 (ou seja, i=0), então (1+i)^{N}=1 para todo N, então
(1+i)^{-N}=1.
  • Se 0<1+i<1 (ou seja, -1<i<0), então (1+i)^{N}\to 0 quando N\to\infty, e portanto
(1+i)^{-N}=\frac{1}{(1+i)^{N}}\to +\infty.
  • Se 1+i\le -1 (ou i\le -2 ou i=-1), a expressão financeira fica fora do cenário prático (oscilações ou divergência) e normalmente não é considerada em problemas de juros usuais.
Para fins financeiros e do enunciado típico, assume-se i>0. Vou primeiro tirar a conclusão para esse caso e depois comentar os casos-limite.

Passo 4

Assumindo i>0: como vimos, (1+i)^{-N}\to 0 quando N\to\infty. Substituindo esse limite na expressão de P:
\lim_{N\to\infty} P = \lim_{N\to\infty} \frac{V\,i}{1-(1+i)^{-N}} = \frac{V\,i}{1-0} = V\,i.
Portanto, quando i>0 e N\to\infty, cada parcela tende para V\,i.

Passo 5

Intuição financeira (explicação didática): para N grande infinito temos uma anuidade perpétua (pagamentos infinitos e constantes). O valor presente V de uma perpetuidade que paga P por período a uma taxa i satisfaz a fórmula conhecida
V=\frac{P}{i},
pois o somatório descontado é uma série geométrica com soma P\big/(i). Invertendo, obtemos
P=V\,i,
o mesmo resultado que encontramos pelo limite. Essa é uma forma prática de lembrar: pagamento perpétuo = capital \times taxa.

Passo 6

Comentando os outros casos brevemente:
  • Se i=0, a fórmula original é indeterminada ( dá 0/0 se substituída direto), mas financeiramente com juros nulos a parcela é simplesmente P=V/N e assim \lim_{N\to\infty}P=0.
  • Se -1<i<0 (taxa negativa pequena), a expressão formal leva a (1+i)^{-N}\to+\infty e a fração tende a 0 (pagamento tende a zero). Esses casos com i\le 0 não são usuais em modelos tradicionais de juros positivos, mas vale saber o comportamento.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar): se V=1000 e i=0,05 (ou seja 5\%), então para N\to\infty teremos
P\to V\,i = 1000\times 0,05 = 50.
Ou seja, uma perpetuidade que vale 1000 hoje paga 50 por período (isso faz sentido: 50/0{,}05=1000).

Resposta

Para i>0: P = V\,i.
Para i=0: P = 0.
Para -1<i<0: P = 0.

Exercícios relacionados