O Sistema de Amortização Price define o valor de cada uma das
parcelas iguais como
,
em que
é o valor inicial,
é a taxa de juros.
Qual o valor de cada parcela se
?
Qual o valor de cada parcela se
Passo 1
O enunciado dá a fórmula das parcelas iguais no Sistema Price:
onde:
-
é o valor inicial (principal); -
é a taxa de juros por período; -
é o número de parcelas.
O que a questão pede: calcular o valor de cada parcela quando
. Ou seja, avaliar o limite
Passo 2
Reescrevemos a expressão de uma forma ligeiramente mais prática para trabalhar com limites. Multiplicando numerador e denominador por
(ou apenas observando a potência negativa) obtemos uma forma equivalente:
Essa forma deixa claro que o comportamento de
quando
depende do comportamento de
quando
.
Passo 3
Vamos estudar o comportamento de
quando
. Há alguns casos para a base
, e vou tratar os mais relevantes:
- Se
(ou seja, ), então quando . Logo
- Se
(ou seja, ), então para todo , então
- Se
(ou seja, ), então quando , e portanto
- Se
(ou ou ), a expressão financeira fica fora do cenário prático (oscilações ou divergência) e normalmente não é considerada em problemas de juros usuais.
Para fins financeiros e do enunciado típico, assume-se
. Vou primeiro tirar a conclusão para esse caso e depois comentar os casos-limite.
Passo 4
Assumindo
: como vimos,
quando
. Substituindo esse limite na expressão de
:
Portanto, quando
e
, cada parcela tende para
.
Passo 5
Intuição financeira (explicação didática): para
grande infinito temos uma anuidade perpétua (pagamentos infinitos e constantes). O valor presente
de uma perpetuidade que paga
por período a uma taxa
satisfaz a fórmula conhecida
pois o somatório descontado é uma série geométrica com soma
. Invertendo, obtemos
o mesmo resultado que encontramos pelo limite. Essa é uma forma prática de lembrar: pagamento perpétuo = capital
taxa.
Passo 6
Comentando os outros casos brevemente:
- Se
, a fórmula original é indeterminada ( dá se substituída direto), mas financeiramente com juros nulos a parcela é simplesmente e assim . - Se
(taxa negativa pequena), a expressão formal leva a e a fração tende a (pagamento tende a zero). Esses casos com não são usuais em modelos tradicionais de juros positivos, mas vale saber o comportamento.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar): se
e
(ou seja
), então para
teremos
Ou seja, uma perpetuidade que vale
hoje paga
por período (isso faz sentido:
).
Resposta
Para
:
.
Para :
.
Para :
.
Para
Para