Usando a regra da substituição resolva os seguintes itens:
(1,0 ponto) Calcule a seguinte integral indefinida \int \sqrt{4 x+3}\left(x^{2}+1\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle\int \sqrt{4 x+3}\left(x^{2}+1\right)\,d x.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \sqrt{4x+3}\,(x^2+1).
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=\sqrt{4x+3}\,(x^2+1).
    O objetivo imediato é transformar essa integral em uma forma mais simples usando a regra da substituição.

Passo 2

Explicando a regra da substituição (a ideia):
  • Se fizermos uma mudança de variável u=g(x) bem escolhida, então d u = g'(x)\,d x e a integral em x pode virar uma integral em u mais simples:
\int f(g(x))\,g'(x)\,d x = \int f(u)\,d u.
  • Aqui há uma raiz \sqrt{4x+3}. Uma escolha natural é definir u igual a essa raiz, porque isso costuma simplificar fatores com raiz e produzir polinômios em u.
Faço a escolha:
u=\sqrt{4x+3}.
Agora relaciono u e x: elevando ao quadrado,
u^{2}=4x+3 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{u^{2}-3}{4}.
Derivando ambos os lados em relação a u:
2u\,d u = 4\,d x \quad\Rightarrow\quad d x=\frac{u}{2}\,d u.

Passo 3

Agora expresso x^{2}+1 em termos de u. Usando x=\dfrac{u^{2}-3}{4},
x^{2}=\left(\frac{u^{2}-3}{4}\right)^{2}=\frac{(u^{2}-3)^{2}}{16}=\frac{u^{4}-6u^{2}+9}{16}.
Portanto
x^{2}+1=\frac{u^{4}-6u^{2}+9}{16}+1=\frac{u^{4}-6u^{2}+9+16}{16}=\frac{u^{4}-6u^{2}+25}{16}.

Passo 4

Substituo tudo na integral original. Lembre que \sqrt{4x+3}=u e d x=\dfrac{u}{2}\,d u. Assim
\int \sqrt{4x+3}\,(x^{2}+1)\,d x = \int u\cdot\frac{u^{4}-6u^{2}+25}{16}\cdot\frac{u}{2}\,d u.
Multiplico os fatores:
u\cdot\frac{u^{4}-6u^{2}+25}{16}\cdot\frac{u}{2} = \frac{1}{32}\,u^{2}\,(u^{4}-6u^{2}+25).
Expandindo o produto dentro da integral:
u^{2}(u^{4}-6u^{2}+25)=u^{6}-6u^{4}+25u^{2}.
Logo a integral fica
\int \sqrt{4x+3}\,(x^{2}+1)\,d x = \frac{1}{32}\int \bigl(u^{6}-6u^{4}+25u^{2}\bigr)\,d u.

Passo 5

Integro termo a termo (fórmula básica: \int u^{n}\,d u=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1):
\int u^{6}\,d u=\frac{u^{7}}{7},\qquad \int u^{4}\,d u=\frac{u^{5}}{5},\qquad \int u^{2}\,d u=\frac{u^{3}}{3}.
Aplicando isso com o fator \dfrac{1}{32}:
\frac{1}{32}\left(\frac{u^{7}}{7}-6\cdot\frac{u^{5}}{5}+25\cdot\frac{u^{3}}{3}\right)+C.

Passo 6

Volto à variável x substituindo u=\sqrt{4x+3}. Como u^{7}=(4x+3)^{7/2}, u^{5}=(4x+3)^{5/2} e u^{3}=(4x+3)^{3/2}, obtenho a primitiva em x:
\frac{1}{32}\left(\frac{(4x+3)^{7/2}}{7}-\frac{6(4x+3)^{5/2}}{5}+\frac{25(4x+3)^{3/2}}{3}\right)+C.
Se quiser, pode deixar distribuído os denominadores, mas essa forma já está clara e correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{32}\left(\frac{(4x+3)^{7/2}}{7}-\frac{6(4x+3)^{5/2}}{5}+\frac{25(4x+3)^{3/2}}{3}\right)+C

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