Usando a regra da substituição resolva os seguintes itens:
(1,0 ponto) Calcule a seguinte integral indefinida
;
(1,0 ponto) Calcule a seguinte integral indefinida
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja uma função
tal que .
O objetivo imediato é transformar essa integral em uma forma mais simples usando a regra da substituição.
Passo 2
Explicando a regra da substituição (a ideia):
- Se fizermos uma mudança de variável
bem escolhida, então e a integral em pode virar uma integral em mais simples:
- Aqui há uma raiz
. Uma escolha natural é definir igual a essa raiz, porque isso costuma simplificar fatores com raiz e produzir polinômios em .
Faço a escolha:
Agora relaciono
e
: elevando ao quadrado,
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Agora expresso
em termos de
. Usando
,
Portanto
Passo 4
Substituo tudo na integral original. Lembre que
e
. Assim
Multiplico os fatores:
Expandindo o produto dentro da integral:
Logo a integral fica
Passo 5
Integro termo a termo (fórmula básica:
para
):
Aplicando isso com o fator
:
Passo 6
Volto à variável
substituindo
. Como
,
e
, obtenho a primitiva em
:
Se quiser, pode deixar distribuído os denominadores, mas essa forma já está clara e correta.