Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou se ela não é monótona.
\left\{\cos \left(\frac{1}{3} n \pi\right)\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a_n\} com
a_n = \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr)
e pede para decidir se ela é crescente ( a_{n+1}\ge a_n para todo n), decrescente ( a_{n+1}\le a_n para todo n) ou não monótona. O conteúdo aqui é classificação de monotonicidade de sequências reais.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos para ver o padrão:
a_1 = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \tfrac12, \quad a_2 = \cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = -\tfrac12, \quad a_3 = \cos(\pi) = -1,
a_4 = \cos\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr) = -\tfrac12, \quad a_5 = \cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr) = \tfrac12, \quad a_6 = \cos(2\pi) = 1, \quad a_7 = \cos\!\bigl(\tfrac{7\pi}{3}\bigr) = \tfrac12.

Passo 3

Comparando esses valores:
  • De a_1=\tfrac12 para a_2=-\tfrac12 há decrescimento.
  • De a_2=-\tfrac12 para a_3=-1 continua decrescendo.
  • Mas de a_3=-1 para a_4=-\tfrac12 já ocorre aumento.
    Ou seja, em alguns índices a sequência cai e em outros sobe, não respeitando sempre a mesma direção.

Resposta

A sequência não é monótona.

Exercícios relacionados