Resolva a equação homogênea
3 y^{\prime}=(2 x+3 y-1)+4(2 x+3 y-1)^{-3}-2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3\,y' \;=\;(2x+3y-1)\;+\;4\,(2x+3y-1)^{-3}\;-\;2.
O conteúdo é resolução de equações de 1ª ordem que dependem apenas da combinação linear 2x+3y-1. Vamos usar a substituição v=2x+3y-1.

Passo 2

Defina
v = 2x + 3y - 1.
Então
\frac{dv}{dx} = 2 + 3\,y' \;\Longrightarrow\; y' = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{dv}{dx} - 2\Bigr).
Substituindo em 3\,y', obtemos
3\,y' = \frac{dv}{dx} - 2.
Na equação original isso vira
\frac{dv}{dx} - 2 = v + 4\,v^{-3} - 2 \;\Longrightarrow\; \frac{dv}{dx} = v + 4\,v^{-3}.

Passo 3

Escrevemos a separação de variáveis:
\frac{dv}{dx} = v + \frac{4}{v^3} \;\Longrightarrow\; \frac{dv}{v + 4\,v^{-3}} = dx.
Observe que
v + 4\,v^{-3} = \frac{v^4 + 4}{v^3},
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\frac{dv}{v + 4\,v^{-3}} = \frac{v^3}{v^4 + 4}\,dv.
Ficamos com
\int \frac{v^3}{v^4 + 4}\,dv = \int dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int \frac{v^3}{v^4 + 4}\,dv, faça u = v^4 + 4, então du = 4\,v^3\,dv e v^3\,dv = \tfrac{du}{4}. Assim,
\int \frac{v^3}{v^4+4}\,dv = \int \frac{1}{4}\,\frac{du}{u} = \frac{1}{4}\ln\lvert u\rvert + C = \frac{1}{4}\ln\bigl(v^4+4\bigr) + C.
Portanto a integral dá
\frac{1}{4}\ln\bigl(v^4+4\bigr) = x + C_1.

Passo 5

Multiplicando por 4 e exponenciando, obtemos
\ln\bigl(v^4+4\bigr) = 4x + C_2 \;\Longrightarrow\; v^4 + 4 = K\,e^{4x},
onde K = e^{C_2} é constante arbitrária. Voltando à variável original v=2x+3y-1, a solução geral fica
\bigl(2x + 3y -1\bigr)^4 + 4 = K\,e^{4x}.

Resposta

\boxed{\bigl(2x + 3y -1\bigr)^4 + 4 = K\,e^{4x},}
onde K é constante de integração.

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