Sejam y_{1}(t) e y_{2}(t) soluções de \ddot{y}+a(t) \dot{y}+b(t) y=0, no intervalo -\infty<t<\infty, \operatorname{com} y_{1}(0)= 3, \dot{y}_{1}(0)=1, y_{2}(0)=-1, \dot{y}_{2}(0)=\frac{1}{3}. Mostre que y_{1}(t) e y_{2}(t) são linearmente independentes no intervalo -\infty<t<\infty.

Passo 1

O enunciado dá duas soluções y_{1}(t) e y_{2}(t) da equação linear homogênea de segunda ordem
\ddot y + a(t)\,\dot y + b(t)\,y = 0
em -\infty<t<\infty, com condições iniciais
y_{1}(0)=3,\;\dot y_{1}(0)=1,\; y_{2}(0)=-1,\;\dot y_{2}(0)=\tfrac13.
Queremos mostrar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes, ou seja, que o wronskiano
W(t) =\begin{vmatrix} y_{1}(t) & y_{2}(t)\\\ \dot y_{1}(t) & \dot y_{2}(t) \end{vmatrix}
não se anula em nenhum t. Para isso usamos a fórmula de Abel para o wronskiano.

Passo 2

Calculemos o wronskiano no instante t=0:
W(0) =y_{1}(0)\,\dot y_{2}(0)-\dot y_{1}(0)\,y_{2}(0) =3\cdot\tfrac13 - 1\cdot(-1) =1+1 =2.

Passo 3

Pela identidade de Abel, para toda solução da equação
\ddot y + a(t)\dot y + b(t)y=0, vale
W(t) = W(0)\,\exp\!\Bigl(-\int_{0}^{t}a(s)\,\mathrm{d}s\Bigr).
Como W(0)=2\neq0 e a exponencial nunca zera, segue que
W(t)\neq0 \quad\forall\,t\in(-\infty,\infty).

Passo 4

O fato de o wronskiano nunca se anular implica que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em todo (-\infty,\infty).

Resposta

y_{1}(t) e y_{2}(t) são linearmente independentes no intervalo -\infty<t<\infty.

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