Resolva as equaçōes de Bernoulli:
\frac{d y}{d x}=y+e^{-2 x} y^{4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = y + e^{-2x}\,y^{4}.
Este é um caso de equação de Bernoulli de parâmetro n=4. Vamos primeiro colocá-la na forma padrão e depois usar a substituição característica u=y^{1-n}=y^{-3}.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, subtraímos y dos dois lados:
\frac{dy}{dx} - y = e^{-2x}\,y^{4}.

Passo 3

Dividimos ambos os lados por y^{4} (supondo y\neq0) para obter
y^{-4}\,\frac{dy}{dx} - y^{-3} = e^{-2x}.

Passo 4

Fazemos a substituição
u = y^{-3}.
Então
\frac{du}{dx} = -3\,y^{-4}\,\frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad y^{-4}\,\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}\,\frac{du}{dx}.
Substituindo na equação do passo anterior, vem
-\tfrac{1}{3}\frac{du}{dx} - u = e^{-2x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} + 3\,u = -3\,e^{-2x}.
Esta é agora uma equação linear em u.

Passo 5

O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int 3\,dx} = e^{3x}.
Multiplicando a equação por \mu(x),
e^{3x}\frac{du}{dx} + 3\,e^{3x}u = -3\,e^{3x}e^{-2x} = -3\,e^{x},
que é
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{3x}\bigr) = -3\,e^{x}.
Integrando em x,
u\,e^{3x} = \int -3\,e^{x}\,dx = -3\,e^{x} + C,
onde C é constante de integração. Assim
u = -3\,e^{-2x} + C\,e^{-3x}.

Passo 6

Voltamos à variável original pela definição u=y^{-3}:
y^{-3} = C\,e^{-3x} - 3\,e^{-2x}.
Invertendo e extraindo a raiz cúbica,
y^{3} = \frac{1}{C\,e^{-3x} - 3\,e^{-2x}} \quad\Longrightarrow\quad y = \left(\frac{1}{C\,e^{-3x} - 3\,e^{-2x}}\right)^{\!\tfrac13}.

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é
\boxed{ y(x) = \bigl(C\,e^{-3x} - 3\,e^{-2x}\bigr)^{-\tfrac13}, }
com C constante arbitrária.

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