Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona.
\left(\frac{5^{n}}{1+5^{2 n}}\right)

Passo 1

O problema pede para analisarmos a monotonicidade da sequência
a_n = \frac{5^n}{1 + 5^{2n}},
ou seja, verificar se ela é crescente ( a_{n+1}>a_n), decrescente ( a_{n+1}<a_n) ou não monótona. O conteúdo aqui é teste de monotonicidade de sequências reais, e vamos usar o critério do quociente a_{n+1}/a_n.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle \frac{5^{n+1}}{1+5^{2n+2}}}{\displaystyle \frac{5^n}{1+5^{2n}}} = 5 \,\frac{1+5^{2n}}{1+5^{2n}\cdot 25} = \frac{5\,(1+5^{2n})}{1+25\,5^{2n}}.

Passo 3

Para saber o sinal de a_{n+1}-a_n basta ver se \frac{a_{n+1}}{a_n} é menor ou maior que 1. Observe:
\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 5\,(1+5^{2n}) < 1 + 25\,5^{2n}.
Distribuindo e reunindo termos:
5 + 5\cdot 5^{2n} < 1 + 25\cdot 5^{2n} \quad\Longleftrightarrow\quad 4 < 20\cdot 5^{2n} \quad\Longleftrightarrow\quad 5^{2n} > \frac{1}{5}.
Como 5^{2n}\ge5^0=1 para todo n\ge0, essa desigualdade vale sempre, logo
\frac{a_{n+1}}{a_n}<1 em todos os termos, o que implica a_{n+1}<a_n.

Resposta

A sequência \displaystyle\bigl(\tfrac{5^n}{1+5^{2n}}\bigr) é estritamente decrescente.

Exercícios relacionados