Calcule os limites (use as propriedades e teoremas vistos em aula).
\lim _{n} \sqrt[n]{2^{n}+5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_n = \sqrt[n]{2^n + 5^n}
quando n \to \infty. O conteúdo envolve limites de sequências com raiz enésima e uso da propriedade de fatoração do termo dominante numa soma de potências.

Passo 2

Observe que em 2^n + 5^n o termo 5^n domina para n grande. Podemos fatorar 5^n:
2^n + 5^n = 5^n\Bigl((2/5)^n + 1\Bigr).

Passo 3

Aplicando a raiz enésima em ambos os lados, fica
a_n = \sqrt[n]{5^n\bigl((2/5)^n + 1\bigr)} = \sqrt[n]{5^n}\;\sqrt[n]{(2/5)^n + 1} = 5\;\bigl((2/5)^n + 1\bigr)^{1/n}.

Passo 4

Como |2/5|<1, temos (2/5)^n \to 0, logo
(2/5)^n + 1 \;\longrightarrow\;1.
Além disso, se x_n\to1 com x_n>0, então x_n^{1/n}\to1. Portanto
\bigl((2/5)^n + 1\bigr)^{1/n} \;\longrightarrow\;1.

Passo 5

Com isso,
a_n = 5\;\bigl((2/5)^n + 1\bigr)^{1/n} \;\longrightarrow\;5\cdot1 = 5.

Resposta

O valor do limite é 5.

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