Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona.
\left(\frac{2 n-1}{4 n-1}\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n = \frac{2n-1}{4n-1}
e pede para determinar se ela é crescente, decrescente ou não monótona. O conteúdo usado será o teste de monotonicidade por diferença de termos consecutivos, ou seja, analisar o sinal de a_{n+1}-a_n.

Passo 2

Escrevemos os dois termos consecutivos:
a_n = \frac{2n-1}{4n-1}, \quad a_{n+1} = \frac{2n+1}{4n+3}.

Passo 3

Calculamos a diferença dos dois termos:
(2n+1)(4n-1) - (2n-1)(4n+3) = \bigl(8n^2+2n-1\bigr) - \bigl(8n^2+2n-3\bigr) = 2.
Logo,
a_{n+1}-a_n = \frac{(2n+1)(4n-1)-(2n-1)(4n+3)}{(4n+3)(4n-1)} = \frac{2}{(4n+3)(4n-1)}.

Passo 4

Para todo inteiro n\ge1, o denominador (4n+3)(4n-1) é positivo, logo
a_{n+1}-a_n>0.
Isto mostra que a sequência cresce à medida que n aumenta.

Resposta

A sequência \displaystyle\frac{2n-1}{4n-1} é estritamente crescente.

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