Determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
n!1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = n!1cdot 3cdot 5cdots(2n-1)
Queremos decidir se (an) é crescente, decrescente ou não-monótona. Para isso, vamos usar o teste da razão: comparar an+1 com an.

Passo 2

Escrevemos a razão
an+1an =(n+1)!1cdot3cdot5cdots(2n-1)cdot(2n+1)% n!1cdot3cdot5cdots(2n-1)

Passo 3

Cancelando o produto 1cdot3cdotcdots(2n-1) e n!, obtemos
an+1an =(n+1)!n!;12n+1 =n+12n+1

Passo 4

Para todo n>=1 vale
n+1<2n+1 Longrightarrow n+12n+1<1
Logo an+1an<1, o que significa que an+1<an para todo n. Portanto, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência é decrescente.

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