Determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)2^n cdot n!

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = 1cdot3cdot5cdots(2n-1)2^n,n!
e pede para determinar se ela é crescente, decrescente ou não-monótona. Para isso, vamos comparar termos consecutivos usando a razão an+1an.

Passo 2

Escrevendo an+1 e formando a razão, temos
an+1 = 1cdot3cdotcdots(2n-1),(2n+1)2^n+1,(n+1)!,
então
an+1an = 1cdot3cdots(2n-1)(2n+1)2^n+1(n+1)! 1cdot3cdots(2n-1)2^n,n! = 2n+12,(n+1)

Passo 3

Observe que, para todo n>=1,
2n+12,(n+1) = 2n+2-12n+2 = 1 - 12n+2 < 1
Como an+1an<1, cada termo é menor que o anterior.

Resposta

A sequência é decrescente.

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