Determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
5^n1+5^2 n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
an = 5^n1 + 5^2n
é crescente, decrescente ou não-monótona.
O conteúdo aqui é análise de sequências monotônicas e vamos usar a comparação de an+1 e an.

Passo 2

Vamos calcular a razão
an+1an = 5^n+11+5^2(n+1)5^n1+5^2n = 5^n+11+5^2n+2cdot1+5^2n5^n =5;1+5^2n1+25cdot5^2n
Para simplificar, defina t = 5^2n. Então
an+1an =5;1+t1+25,t =5+5t1+25t

Passo 3

Verificamos se essa razão é menor que 1:
5+5t1+25t<1 Long<=ftrightarrow 5+5t<1+25t Long<=ftrightarrow 5 - 1 < 25t - 5t Long<=ftrightarrow 4 < 20t Long<=ftrightarrow t > 15
Como t=5^2n>=5^0=1 para todo n>=0, temos sempre t>1/5. Logo
an+1an<1
para todo n, isto é, an+1<an.

Passo 4

Como an+1<an para todo n, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência 5^n1+5^2n é decrescente.

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