Determine o vetor normal unitário mathbfN(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
mathbfN(t)=d widehatT / d t|d widehatT / d t|
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário.
mathbfr(t)=cos t sin t mathbfi+sin ^2 t mathbfj+cos t mathbfk

Passo 1

O enunciado pede o vetor normal unitário N(t) da curva
r(t)=cos tsin t,i+sin^2t,j+cos t,k,
usando
N(t)=dwidehatT/dt|dwidehatT/dt|,
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário.
Para isso vamos precisar de:
1. r'(t) e sua norma para obter widehatT(t).
2. Derivar widehatT(t) para obter dwidehatT/dt.
3. Normalizar dwidehatT/dt.

Passo 2

Calculemos primeiro
r'(t) =ddtllang<=cos tsin t,;sin^2t,;cos trrang<= =llang<=cos2t,;sin2t,;-,sin trrang<=
A velocidade é
|r'(t)| =raizcos^2 2t+sin^2 2t+sin^2t =raiz1+sin^2tequiv A(t)
Logo o vetor tangente unitário é
widehatT(t) =r'(t)|r'(t)| =1A(t)llang<=cos2t,;sin2t,;-sin trrang<=

Passo 3

Agora derivamos widehatT(t). Chamando A=A(t)=raiz1+sin^2t e A'=dfracdAdt=dfracsin tcos tA, temos
widehatT(t) =llang<= Tx,Ty,Tzrrang<= =llang<=tfraccos2tA,,tfracsin2tA,,-tfracsin tArrang<=
e
dwidehatTdt =llang<= T'x,T'y,T'zrrang<=
compondo cada coordenada por regra do quociente:
T'x =-2sin2t;A-cos2t;A'A^2, T'y =2cos2t;A-sin2t;A'A^2, T'z =-cos t;A+sin t;A'A^2
Substituindo A^2=1+sin^2t e A'=sin tcos t/A obtém-se após simplificação
T'x =-sin tcos t,(5+2sin^2t)l(1+sin^2tr)^3/2, T'y =2l(1-2sin^2t-sin^4tr)l(1+sin^2tr)^3/2, T'z =-cos tl(1+sin^2tr)^3/2

Passo 4

Finalmente o vetor normal unitário é
N(t) =dfracdwidehatTdt l|dfracdwidehatTdtr| =1raizl(T'xr)^2+l(T'yr)^2+l(T'zr)^2 llang<= T'x,;T'y,;T'zrrang<=

Resposta

boxed N(t) =1raizl(T'xr)^2+l(T'yr)^2+l(T'zr)^2 -dfracsin tcos t,(5+2sin^2 t)(1+sin^2 t)^3/2[6pt] dfrac2l(1-2sin^2 t - sin^4 tr)(1+sin^2 t)^3/2[6pt] -dfraccos t(1+sin^2 t)^3/2
onde os T'i são dados no passo anterior.]

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