Calcular
onde
é o arco
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é dado pela parametrização
Este exercício envolve a teoria de integrais de linha em campos vetoriais e, em particular, o reconhecimento de um campo conservativo para usar uma função potencial e tornar o cálculo independente do caminho.
Passo 2
Verificamos se o campo
é conservativo, comparando as derivadas parciais:
Calculamos
Como
em todo
e o domínio é simplesmente conectado, o campo é conservativo.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
,
Para determinar
, igualamos
a
:
Logo,
Passo 4
A integral de linha entre os pontos inicial
e final
é
Calculamos
Portanto a integral vale
.