Calcular
integralC(2 x y^3+2 x^3+3) d x+(3 x^2 y^2-y^3+1) d y
onde C é o arco x=t-sen t, y=1-cos t ; t in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCl(2xy^3+2x^3+3r),dx ;+;l(3x^2y^2-y^3+1r),dy
onde C é dado pela parametrização
x(t)=t-sin t, y(t)=1-cos t, tin[0,2pi]
Este exercício envolve a teoria de integrais de linha em campos vetoriais e, em particular, o reconhecimento de um campo conservativo para usar uma função potencial e tornar o cálculo independente do caminho.

Passo 2

Verificamos se o campo F=(P,Q) é conservativo, comparando as derivadas parciais:
P(x,y)=2xy^3+2x^3+3, Q(x,y)=3x^2y^2-y^3+1
Calculamos
partial Ppartial y=6xy^2, partial Qpartial x=6xy^2
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em todo R^2 e o domínio é simplesmente conectado, o campo é conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=P, partial Fpartial y=Q
Integrando P em relação a x,
F(x,y)=integrall(2xy^3+2x^3+3r),dx =x^2y^3+tfrac12x^4+3x+h(y)
Para determinar h(y), igualamos partial F/partial y a Q:
partial Fpartial y =3x^2y^2+h'(y) overset!=3x^2y^2-y^3+1 ;Longrightarrow; h'(y)=-y^3+1 ;Longrightarrow; h(y)=-tfrac14y^4+y
Logo,
F(x,y)=x^2y^3+tfrac12x^4+3x-tfrac14y^4+y

Passo 4

A integral de linha entre os pontos inicial (x(0),y(0))=(0,0) e final (x(2pi),y(2pi))=(2pi,0) é
integralCP,dx+Q,dy =Fl(x(2pi),y(2pi)r)-Fl(x(0),y(0)r)
Calculamos
F(2pi,0) =(2pi)^2cdot0^3+tfrac12(2pi)^4+3,(2pi)-tfrac14cdot0^4+0 =8pi^4+6pi,
F(0,0)=0
Portanto a integral vale 8pi^4+6pi.

Resposta

8pi^4+6pi \n

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