Quais das sequências an convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
§ an=10^nn!

Passo 1

Vamos analisar a sequência $ a_n = \frac{10^n}{n!} $ para descobrir se ela converge (se aproxima de um número específico) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Para isso, vamos usar conceitos de limites e entender como $ 10^n $ e $ n! $ crescem conforme $ n $ aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ n! $. O fatorial de $ n $, representado por $ n! $, é o produto de todos os números inteiros de 1 até $ n $. Por exemplo, $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $. Os fatoriais crescem muito rápido à medida que $ n $ aumenta.

Passo 3

Agora, vamos comparar $ 10^n $ com $ n! $. O termo $ 10^n $ significa 10 multiplicado por si mesmo $ n $ vezes, o que é uma função exponencial. Já $ n! $ cresce ainda mais rápido que qualquer função exponencial, pois cada novo termo no fatorial multiplica por um número maior que o anterior.

Passo 4

Para encontrar o limite da sequência, calculamos $ \lim_{n \to \infty} \frac{10^n}{n!} $. Sabemos que, à medida que $ n $ cresce, o denominador $ n! $ cresce muito mais rápido que o numerador $ 10^n $. Isso faz com que a fração $ \frac{10^n}{n!} $ diminua cada vez mais.

Passo 5

Como o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, o limite dessa fração quando $ n $ tende ao infinito é zero.

Resposta

A sequência $ \left{ a_n \right} = \frac{10^n}{n!} $ converge e o seu limite é 0.

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