Escrever a função comprimento de arco de:
r(t)=(cos 2 t, sen 2 t), t in[0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a função de comprimento de arco para a curva dada por r(t) = (cos 2t, sin 2t) no intervalo t in [0, pi]. Isso está relacionado ao estudo de Geometria Analítica, mais especificamente ao cálculo de comprimento de arco para curvas parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar a magnitude dessa derivada e, por fim, integrar essa magnitude no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial r(t). A derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade ao longo da curva.
r,'(t) = ( ddt[cos 2t], ddt[sin 2t] )
Calculando cada componente:
ddt[cos 2t] = -2 sin 2t
ddt[sin 2t] = 2 cos 2t
Então,
r,'(t) = (-2 sin 2t, 2 cos 2t)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a magnitude (ou módulo) dessa derivada, que representa a rapidez com que estamos nos movendo ao longo da curva.
A magnitude de r,'(t) é dada por:
|r,'(t)| = raiz(-2 sin 2t)^2 + (2 cos 2t)^2
Calculando:
|r,'(t)| = raiz4 sin^2 2t + 4 cos^2 2t = raiz4 (sin^2 2t + cos^2 2t)
Sabemos que sin^2 x + cos^2 x = 1, então:
|r,'(t)| = raiz4 cdot 1 = raiz4 = 2

Passo 4

Com a magnitude da derivada encontrada, podemos agora calcular o comprimento de arco s(t), que é a integral da velocidade ao longo do intervalo de interesse.
A fórmula para o comprimento de arco é:
s(t) = integrala^t |r,'(tau)| , dtau
Aqui, a = 0 e |r,'(tau)| = 2, então:
s(t) = integral0^t 2 , dtau

Passo 5

Agora, vamos resolver essa integral simples:
s(t) = 2 integral0^t dtau = 2 [tau]0^t = 2(t - 0) = 2t

Resposta

A função comprimento de arco é s(t) = 2t para todo t in [0, pi].

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