Escrever a função comprimento de arco de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a função de comprimento de arco para a curva dada por
no intervalo
. Isso está relacionado ao estudo de Geometria Analítica, mais especificamente ao cálculo de comprimento de arco para curvas parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar a magnitude dessa derivada e, por fim, integrar essa magnitude no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade ao longo da curva.
Calculando cada componente:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a magnitude (ou módulo) dessa derivada, que representa a rapidez com que estamos nos movendo ao longo da curva.
A magnitude de
é dada por:
Calculando:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Com a magnitude da derivada encontrada, podemos agora calcular o comprimento de arco
, que é a integral da velocidade ao longo do intervalo de interesse.
A fórmula para o comprimento de arco é:
Aqui,
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa integral simples:
Resposta
A função comprimento de arco é
para todo
.