Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
(f) ln (2 n+4)n+2n=1^infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente descobrir se uma sequência é crescente, decrescente ou não monótona. Além disso, precisamos verificar se essa sequência é limitada. A sequência que estamos analisando é:
ln (2n + 4)n + 2n=1^infty
Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências, monotonicidade (que é sobre se a sequência está aumentando ou diminuindo) e limites para verificar se ela é limitada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja, se $ a_{n+1} > a_n $ para todo $ n $. É decrescente se cada termo é menor que o anterior, $ a_{n+1} < a_n $.
Vamos analisar nossa sequência:
an+1 > an
Para ver se ela é crescente ou decrescente, podemos verificar o comportamento dos termos conforme $ n $ aumenta.

Passo 3

Uma maneira de investigar isso é calcular a derivada da função contínua que representa a sequência, ou seja, considerar $ f(n) = \frac{\ln (2n + 4)}{n + 2} $ e encontrar $ f’(n) $.
Vamos derivar usando a regra do quociente:
f(n) = ln (2n + 4)n + 2
Simplificando:
f'(n)
Observando o numerador, à medida que $ n $ aumenta, a primeira parte diminui e a segunda parte melhora, o que sugere que $ f’(n) $ é negativo para $ n $ suficiente grande. Isso indica que a função, e portanto a sequência, é decrescente.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que seja acima de todos os seus termos (limite superior) e outro que seja abaixo de todos os seus termos (limite inferior).
Analisando $ a_n = \frac{\ln (2n + 4)}{n + 2} $, à medida que $ n $ cresce, o numerador cresce logoarítmicamente e o denominador cresce linearmente. Isso significa que $ a_n $ tende a zero:
an = ln (2n + 4)n + 2
Então, a sequência é limitada inferiormente por zero. Além disso, para $ n = 1 $:
n
E como a sequência é decrescente, todos os termos serão menores ou iguais a $ a_1 $. Portanto, a sequência é limitada acima por aproximadamente 0,596 e abaixo por 0.

Resposta

A sequência $ \left{\frac{\ln (2n + 4)}{n + 2}\right} $ é decrescente e está limitada, com seus termos ficando menores à medida que $ n $ aumenta e tendendo a zero.

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