Seja f: R^3 R a função definida por f(x, y, z)=x+y+z1+x^2+y^2+z^2. Considere epsilon>0 um número positivo dado.
(0,5) Suponha epsilon=0,015. Determine um valor numérico para de.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede que, dado epsilon=0,015, a gente encontre de0 tal que sempre que raizx^2+y^2+z^2 então |f(x,y,z)-f(0,0,0)|<0,015. O conteúdo aqui é estimar a diferença de f(x,y,z) e usar desigualdades para achar uma condição em raizx^2+y^2+z^2.

Passo 2

Vamos calcular |f(x,y,z)-f(0,0,0)|. Note que f(0,0,0)=0, logo
|f(x,y,z)-0|=|x+y+z1+x^2+y^2+z^2|

Passo 3

Para o numerador usamos a desigualdade triangular junto com Cauchy–Schwarz:
|x+y+z|<=|x|+|y|+|z|<=raiz3,raizx^2+y^2+z^2=raiz3,r, onde r=raizx^2+y^2+z^2. Assim
|f(x,y,z)|<=raiz3,r1+r^2

Passo 4

Como 1+r^2>=1, temos 11+r^2<=1 e portanto
|f(x,y,z)|<=raiz3,r

Passo 5

Queremos raiz3,r<0,015, isto é
r<0,015raiz3

Passo 6

Logo basta escolher de. Numericamente,
de

Resposta

de.

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