Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
(g) n4 n+1n=1^infty

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência an = n4n+1 é crescente, decrescente ou não monótona, e se ela é limitada. O conteúdo envolvido é análise de monotonicidade de sequência e verificação de limites (boundness).

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, vamos calcular a diferença an+1-an:
n+14(n+1)+1 - n4n+1 = n+14n+5 - n4n+1 = (n+1)(4n+1) - n(4n+5)(4n+5)(4n+1) = 1(4n+5)(4n+1)
Como o denominador é sempre positivo, temos an+1-an>0, logo an é estritamente crescente.

Passo 3

Para verificar se an é limitada, observamos que para todo n:
0 < n4n+1 < n4n = 14
Portanto an está limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1/4.

Resposta

Estritamente crescente e limitada ( 0 < an < 1/4).

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