(2,0) Determine o ponto da esfera de equação
x^2+y^2+z^2=1,
que se encontra mais próximo do plano de equação 2 x+3 y+6 z=8.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos lá, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar o ponto na esfera com equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $ que está mais próximo do plano dado pela equação $ 2x + 3y + 6z = 8 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente a distância de um ponto a um plano e como encontrar o ponto mais próximo em uma superfície como uma esfera.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a distância entre um ponto qualquer $ (x, y, z) $ e o plano $ 2x + 3y + 6z = 8 $. A fórmula para a distância $ D $ de um ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ a um plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $ é:
(x, y, z)
Neste caso, reescrevemos a equação do plano para a forma $ 2x + 3y + 6z - 8 = 0 $, então $ A = 2 $, $ B = 3 $, $ C = 6 $, $ D = -8 $.

Passo 3

Hoje queremos minimizar essa distância, ou seja, achar o ponto $ (x, y, z) $ na esfera que torna $ D $ o menor possível. Como estamos lidando com uma função de distância, podemos tentar minimizar a expressão $ 2x + 3y + 6z - 8 $ considerando a restrição $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $.
Para isso, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, mas aqui vamos resolver de um jeito mais geométrico.

Passo 4

Sabemos que o ponto na esfera mais próximo do plano estará na linha que passa pela origem (que é o centro da esfera) e perpendicular ao plano. Essa linha tem a mesma direção do vetor normal do plano, que é $ \mathbf{n} = (2, 3, 6) $.
Então, vamos parametrizar essa linha como:
n = (2, 3, 6)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de $ t $ tal que o ponto $ (2t, 3t, 6t) $ esteja na esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $:
t

Passo 6

Precisamos determinar qual desses valores de $ t $ nos dá o ponto mais próximo do plano. Vamos calcular a distância para cada caso.
Para $ t = \frac{1}{7} $:
t
Para $ t = -\frac{1}{7} $:
t = 17
Claramente, $ t = \frac{1}{7} $ dá a menor distância.

Resposta

O ponto na esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $ que está mais próximo do plano $ 2x + 3y + 6z = 8 $ é $ \left( \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7} \right) $.

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