Se existir, dê exemplo de uma sequência
tal que
(a)
tende a infinito mas
não é monótona.
(a)
Passo 1
Estamos buscando uma sequência {a_n} que diverge para +∞ mas que não seja monotônica. Para isso, vamos usar definições de divergência e monotonicidade de sequências.
Passo 2
Definição de divergência para +∞: dizemos que {a_n}→+∞ se, para todo M>0, existe N∈ℕ tal que para n≥N temos a_n>M. Definição de monotonicidade: {a_n} é monótona crescente se a_{n+1}≥a_n para todo n, e monótona decrescente se a_{n+1}≤a_n para todo n.
Passo 3
Uma boa ideia é pegar algo que cresce como n, mas que oscile um pouco para quebrar a monotonicidade. Definimos
Passo 4
Mostramos que {a_n}→+∞: note que para todo n
Dado M>0, basta escolher N = ⌈M+1⌉. Então para n≥N vale n−1 ≥ M, logo a_n ≥ M.
Passo 5
Para ver que não é monótona, observe que
Então
Resposta
Um exemplo simples é a_n = n + (-1)^n, que diverge para +∞ mas alterna e, portanto, não é monótona.