Se existir, dê exemplo de uma sequência an tal que
(a) an tende a infinito mas an não é monótona.

Passo 1

Estamos buscando uma sequência {a_n} que diverge para +∞ mas que não seja monotônica. Para isso, vamos usar definições de divergência e monotonicidade de sequências.

Passo 2

Definição de divergência para +∞: dizemos que {a_n}→+∞ se, para todo M>0, existe N∈ℕ tal que para n≥N temos a_n>M. Definição de monotonicidade: {a_n} é monótona crescente se a_{n+1}≥a_n para todo n, e monótona decrescente se a_{n+1}≤a_n para todo n.

Passo 3

Uma boa ideia é pegar algo que cresce como n, mas que oscile um pouco para quebrar a monotonicidade. Definimos
an = n + (-1)^n

Passo 4

Mostramos que {a_n}→+∞: note que para todo n
an = n + (-1)^n ,>=, n - 1
Dado M>0, basta escolher N = ⌈M+1⌉. Então para n≥N vale n−1 ≥ M, logo a_n ≥ M.

Passo 5

Para ver que não é monótona, observe que
a2k-1 = (2k-1) + (-1)^2k-1 = 2k-2,
a2k = 2k + (-1)^2k = 2k+1
Então
a1 = 0, a2 = 3, a3 = 4, a4 = 5, a5 = 6, mas a6 = 7,\npor exemplo de n=1 para n=2 há aumento, mas de n=2 para n=3 (3→4) até aí cresce; porém, se conferirmos de n=3 para n=4 ou n=4 para n=5 veremos oscilações de ordem menor, mostrando que nem sempre a_{n+1}≥a_n ou a_{n+1}≤a_n. Logo, não é monotônica.

Resposta

Um exemplo simples é a_n = n + (-1)^n, que diverge para +∞ mas alterna e, portanto, não é monótona.

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