Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
(h) 3^nn!n=2^infty

Passo 1

O enunciado pede para analisar a monotonicidade e a limitação da sequência an=3^nn!, começando em n=2. O conteúdo envolve sequências numéricas, teste da razão para monotonicidade e observação de limites para verificar se é limitada.

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, vamos calcular a razão an+1an. Sabemos que
an+1an=3^n+1/(n+1)!3^n/n!=3n+1

Passo 3

Analisando o valor de 3n+1: para n=2 temos 33=1, ou seja a3=a2. Para todo n>=3, n+1>3 implica 3n+1<1, então a sequência decresce a partir de n=3. Como não há aumento em nenhum ponto (só uma igualdade inicial), dizemos que é monótona não crescente, ou seja decrescente.

Passo 4

Para verificar se é limitada, note que an>0 para todo n e que após o primeiro termo maior, a sequência só diminui. Logo ela está limitada inferiormente por 0 e superiormente por a2=tfrac92.

Resposta

A sequência é decrescente (monótona não crescente) e limitada.

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