Se existir, dê exemplo de uma sequência
tal que
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é limitada mas não é convergente
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Passo 1
O enunciado pede um exemplo de sequência $
$ que seja limitada (todos os termos ficam dentro de algum intervalo finito) mas que não converge a nenhum limite. O conteúdo é teoria de sequências: definição de sequência limitada e definição de convergência.
Passo 2
Uma sequência clássica que atende a isso é $
$. Aqui, para cada inteiro $$n$ estamos atribuindo $
n$ é par e $
n$ é ímpar.
Passo 3
Para ver que $
n$
ou seja, todos os termos ficam dentro do intervalo $[-1,1]$, então a sequência é limitada.
Passo 4
Para mostrar que não converge, suponha por contradição que $
L$. Então toda subsequência também deve convergir a $$L$. Mas a subsequência dos índices pares é
enquanto a dos índices ímpares é
Como não é possível ter simultaneamente $
L=-1$, chegamos a uma contradição. Portanto $$a_n$ não converge.
Resposta
Um exemplo é a sequência $(a_n) = (-1)^n$, que é limitada (ficando em $[-1,1]$) mas não converge.