Se existir, dê exemplo de uma sequência an tal que
© an é limitada mas não é convergente

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de sequência $ $ que seja limitada (todos os termos ficam dentro de algum intervalo finito) mas que não converge a nenhum limite. O conteúdo é teoria de sequências: definição de sequência limitada e definição de convergência.

Passo 2

Uma sequência clássica que atende a isso é $ an = (-1)^n$$ Aqui, para cada inteiro $. Aqui, para cada inteiro $$n$ estamos atribuindo $ estamos atribuindo n$ é par e $ 1n$ é ímpar.

Passo 3

Para ver que $ an$ é limitada note que para todo én$

ou seja, todos os termos ficam dentro do intervalo $[-1,1]$, então a sequência é limitada.

Passo 4

Para mostrar que não converge, suponha por contradição que $ an$ conver>= a algum L$. Então toda subsequência também deve convergir a $$L$. Mas a subsequência dos índices pares é
Então toda subsequência também deve convergir a
enquanto a dos índices ímpares é
L
Como não é possível ter simultaneamente $ a2k = (-1)^2k = 1 to 1,L=-1$, chegamos a uma contradição. Portanto $$a_n$ não converge.

Resposta

Um exemplo é a sequência $(a_n) = (-1)^n$, que é limitada (ficando em $[-1,1]$) mas não converge.

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