Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
Passo 1
Temos a sequência
. O que a gente precisa: determinar se ela é crescente, decrescente ou não monótona; verificar se é limitada; e descobrir se converge. Para isso, vamos usar o teste do quociente para monotonicidade, argumentos de cota para limite superior e inferior, e analisar o limite
.
Passo 2
Para testar monotonicidade de uma sequência positiva, um jeito fácil é comparar
com
por meio do quociente:
Como
e
para
, fica
Isso mostra que
para todo
, logo a sequência é estritamente decrescente.
Passo 3
Para ver se a sequência é limitada, notamos que
para todo
. Como é decrescente, o maior valor ocorre em
, ou seja,
. Assim temos
portanto é limitada superior e inferiormente.
Passo 4
Sequences monotonicas e limitadas sempre convergem. Mas a gente também pode calcular o limite diretamente. Saber que a função exponencial domina qualquer polinômio nos dá
Por exemplo, olhando a forma contínua
e usando regra de l’Hôpital (ou o fato de
crescer muito mais rápido), concluímos que o limite é zero.
Resposta
A sequência é estritamente decrescente, é limitada (
) e converge, com
.