Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=n e^-n

Passo 1

Temos a sequência an = n e^-n. O que a gente precisa: determinar se ela é crescente, decrescente ou não monótona; verificar se é limitada; e descobrir se converge. Para isso, vamos usar o teste do quociente para monotonicidade, argumentos de cota para limite superior e inferior, e analisar o limite n e^-n.

Passo 2

Para testar monotonicidade de uma sequência positiva, um jeito fácil é comparar an+1 com an por meio do quociente:
an+1an = (n+1)e^-(n+1)n e^-n = l(1 + 1nr)e^-1
Como e^-1 = 1/e < 1 e 1 + 1/n <= 2 para n>=1, fica
an+1an = 1 + 1/ne < 1
Isso mostra que an+1 < an para todo n, logo a sequência é estritamente decrescente.

Passo 3

Para ver se a sequência é limitada, notamos que an = n e^-n > 0 para todo n. Como é decrescente, o maior valor ocorre em n=1, ou seja, an <= a1 = 1/e. Assim temos
0 < an <= 1e,
portanto é limitada superior e inferiormente.

Passo 4

Sequences monotonicas e limitadas sempre convergem. Mas a gente também pode calcular o limite diretamente. Saber que a função exponencial domina qualquer polinômio nos dá
limn to infty n e^-n = 0
Por exemplo, olhando a forma contínua x e^-x e usando regra de l’Hôpital (ou o fato de e^x crescer muito mais rápido), concluímos que o limite é zero.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente, é limitada ( 0< an<= 1/e) e converge, com limntoinftyan=0.

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