Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=12 n+3

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a sequência definida por an = 12n+3. Vamos ver se ela é crescente, decrescente ou não monótona, depois checar se é limitada e, por fim, se converge (e para que valor). Para isso, vamos usar o critério de comparação de termos para monotonicidade, a definição de sequência limitada e calcular o limite quando n to infty.

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, comparamos an+1 com an. Primeiro escrevemos
an+1 = 12(n+1)+3 = 12n+5
Como 2n+5 > 2n+3 para todo n, temos
12n+5 < 12n+3 Longrightarrow an+1 < an

Passo 3

Logo, an é estritamente decrescente.

Passo 4

Para ver se a sequência é limitada, observamos que para todo n
2n+3 > 0 ;Rightarrow; an = 12n+3 > 0

Passo 5

e também, como ela é decrescente, o maior valor ocorre em n=1 (ou no menor n considerado), digamos a1 = tfrac15. Assim
0 < an <= 15

Passo 6

Então a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1/5.

Passo 7

Para verificar a convergência, calculamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty an = limntoinfty 12n+3 = 0

Passo 8

Como o limite existe e é finito, a sequência é convergente.

Resposta

a_n é decrescente; é limitada ( 0< an <= 1/5); e é convergente com limite 0.

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