Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar a sequência definida por
. Vamos ver se ela é crescente, decrescente ou não monótona, depois checar se é limitada e, por fim, se converge (e para que valor). Para isso, vamos usar o critério de comparação de termos para monotonicidade, a definição de sequência limitada e calcular o limite quando
.
Passo 2
Para estudar a monotonicidade, comparamos
com
. Primeiro escrevemos
Como
para todo
, temos
Passo 3
Logo,
é estritamente decrescente.
Passo 4
Para ver se a sequência é limitada, observamos que para todo
Passo 5
e também, como ela é decrescente, o maior valor ocorre em
(ou no menor
considerado), digamos
. Assim
Passo 6
Então a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 7
Para verificar a convergência, calculamos o limite quando
:
Passo 8
Como o limite existe e é finito, a sequência é convergente.
Resposta
a_n é decrescente; é limitada (
); e é convergente com limite 0.