Determine se a sequência dada é limitada
\left\{3-(-1)^{n-1}\right\}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = 3 - (-1)^{n-1}
e pede para verificar se ela é limitada.
Conteúdo: sequência numérica limitada.
Para isso, vamos encontrar os valores de a_n dependendo da paridade de n e depois ver se existe um intervalo finito que contenha todos esses valores.

Passo 2

Analisando a potência (-1)^{n-1}:
  • Se n é ímpar, então n-1 é par e (-1)^{n-1}=1. Nesse caso
a_n = 3 - 1 = 2.
  • Se n é par, então n-1 é ímpar e (-1)^{n-1}=-1. Nesse caso
a_n = 3 - (-1) = 4.

Passo 3

Como a sequência só assume os valores 2 e 4, todos os seus termos satisfazem
2 \le a_n \le 4.
Logo existe um intervalo fechado e finito [2,4] que contém toda a sequência, o que significa que ela é limitada.

Resposta

A sequência é limitada, pois seus termos só valem 2 ou 4, e estão todos em [2,4].

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