Determine se a sequência dada é limitada \left\{3-(-1)^{n-1}\right\}
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência \displaystyle a_{n}=3-(-1)^{\,n-1}
e pede para verificar se ela é limitada. Para isso vamos examinar os valores de (-1)^{\,n-1} dependendo da paridade de n e determinar um maior e um menor valor possíveis para a_n.
Passo 2
Observe que
(-1)^{\,n-1} = \begin{cases} 1, & \text{se \(n-1\) é par (isto é, \(n\) ímpar)},\\ -1,& \text{se \(n-1\) é ímpar (isto é, \(n\) par)}. \end{cases}
Logo, para n ímpar temos
a_n = 3 - 1 = 2,
e para n par temos
a_n = 3 - (-1) = 4.
Passo 3
Portanto a sequência só assume dois valores:
a_n = \begin{cases} 2, & n \text{ ímpar},\\\\ 4, & n \text{ par}. \end{cases}
Isso mostra que, para todo n,
2 \le a_n \le 4.
Resposta
A sequência é limitada, com menor valor \inf a_n = 2 e maior valor \sup a_n = 4.