Dado o problema de valor inicial (PVI)
\frac{d y}{d x}=\frac{9 x+y}{x-y}, \quad y(1)=0 .
(a) (0,4) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b) (1,6) Determine a solução do PVI.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
\frac{dy}{dx}=\frac{9x+y}{x-y}, \quad y(1)=0,
e pede em (a) a classificação quanto à ordem e à linearidade e em (b) a solução desse PVI. Vamos usar conceitos de EDO de ordem, linearidade, equações homogêneas e separação de variáveis.

Passo 2

Para classificar a EDO note que só aparece y' (primeira derivada de y), logo é de primeira ordem. Para testar linearidade, tentamos escrever na forma
y'+P(x)\,y=Q(x).
Aqui temos
y'=\frac{9x+y}{x-y} \;\Longrightarrow\; (x-y)\,y'=9x+y \;\Longrightarrow\; x\,y'-y\,y'=9x+y,
e o coeficiente de y' depende de y, de modo que não conseguimos a forma y'+P(x)y=Q(x). Portanto é uma EDO de primeira ordem e não linear.

Passo 3

Observamos que a função do lado direito é homogênea de grau zero em (x,y) (ambos numerador e denominador são lineares). Fazendo a substituição
v=\frac{y}{x}, \quad y=v\,x, \quad \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx},
temos
v+x\frac{dv}{dx} =\frac{9x+v\,x}{\,x-v\,x\,} =\frac{9+v}{1-v}.
Assim
x\frac{dv}{dx} =\frac{9+v}{1-v}-v =\frac{9+v -v(1-v)}{1-v} =\frac{9+v^{2}}{1-v},
ou seja
\frac{dv}{dx} =\frac{9+v^{2}}{x(1-v)},
que é separável.

Passo 4

Separamos variáveis:
\frac{1-v}{9+v^{2}}\,dv =\frac{dx}{x}.
Integramos:
\int\frac{1}{9+v^{2}}\,dv -\int\frac{v}{9+v^{2}}\,dv =\int\frac{dx}{x}.
Calculando cada termo:
\int\frac{1}{9+v^{2}}\,dv =\frac{1}{3}\arctan\Bigl(\frac{v}{3}\Bigr), \qquad \int\frac{v}{9+v^{2}}\,dv =\frac{1}{2}\ln\bigl(9+v^{2}\bigr).
Logo
\frac{1}{3}\arctan\!\Bigl(\frac{v}{3}\Bigr) -\frac{1}{2}\ln\bigl(9+v^{2}\bigr) =\ln|x|+C.

Passo 5

Voltando a v=y/x e aplicando y(1)=0\Rightarrow v(1)=0:
\frac{1}{3}\arctan(0) -\frac{1}{2}\ln(9+0) =\ln1 + C \;\Longrightarrow\; 0-\frac{1}{2}\ln9=C \;\Longrightarrow\; C=-\ln3.
Assim a solução implícita final é
\frac{1}{3}\arctan\!\Bigl(\frac{y}{3x}\Bigr) -\frac{1}{2}\ln\bigl(9+\frac{y^{2}}{x^{2}}\bigr) =\ln|x|-\ln3.

Resposta

(a) A EDO é de primeira ordem e não linear.
(b) A solução do PVI, em forma implícita, é
\frac{1}{3}\arctan\!\Bigl(\frac{y}{3x}\Bigr) -\frac{1}{2}\ln\!\Bigl(9+\frac{y^{2}}{x^{2}}\Bigr) =\ln|x|-\ln3.

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