Dado o problema de valor inicial (PVI)
(a)
Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b)
Determine a solução do PVI.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede em (a) a classificação quanto à ordem e à linearidade e em (b) a solução desse PVI. Vamos usar conceitos de EDO de ordem, linearidade, equações homogêneas e separação de variáveis.
Passo 2
Para classificar a EDO note que só aparece
(primeira derivada de
), logo é de primeira ordem. Para testar linearidade, tentamos escrever na forma
Aqui temos
e o coeficiente de
depende de
, de modo que não conseguimos a forma
. Portanto é uma EDO de primeira ordem e não linear.
Passo 3
Observamos que a função do lado direito é homogênea de grau zero em
(ambos numerador e denominador são lineares). Fazendo a substituição
temos
Assim
ou seja
que é separável.
Passo 4
Separamos variáveis:
Integramos:
Calculando cada termo:
Logo
Passo 5
Voltando a
e aplicando
:
Assim a solução implícita final é
Resposta
(a) A EDO é de primeira ordem e não linear.
(b) A solução do PVI, em forma implícita, é
(b) A solução do PVI, em forma implícita, é