Dada a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{5}{2} e^{5 x-2 y},
(a) (1,6) Encontre a solução geral da mesma.
(b) (0,5) Mostre que a função encontrada em a) é, de fato, solução da EDO apresentada.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2}\,e^{5x - 2y}
e pede (a) encontrar a solução geral e (b) verificar que essa solução satisfaz a EDO. O conteúdo principal aqui é ODE separável: vamos isolar y de um lado e x do outro, integrar e depois conferir.

Passo 2

Reescrevendo para separar variáveis, multiplicamos ambos os lados por e^{2y}\,dx:
e^{2y}\,\frac{dy}{dx} = \frac{5}{2}\,e^{5x} \quad\Longrightarrow\quad e^{2y}\,dy = \frac{5}{2}\,e^{5x}\,dx.
Agora integramos cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Calculamos as integrais separadas:
\int e^{2y}\,dy = \frac{1}{2}e^{2y} \quad\text{e}\quad \int \frac{5}{2}\,e^{5x}\,dx = \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{5}e^{5x} = \frac{1}{2}e^{5x}.
Logo,
\frac{1}{2}e^{2y} = \frac{1}{2}e^{5x} + K,
onde K é constante de integração. Multiplicando tudo por 2,
e^{2y} = e^{5x} + C,
com C=2K.

Passo 4

Tomando logaritmo e isolando y, obtemos
2y = \ln\bigl(e^{5x}+C\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{2}\,\ln\bigl(e^{5x}+C\bigr).
Essa é a solução geral da EDO.

Passo 5

Para verificar, definimos
y(x)=\frac{1}{2}\ln\bigl(e^{5x}+C\bigr)
e calculamos
\frac{dy}{dx} =\frac{1}{2}\,\frac{1}{e^{5x}+C}\,\bigl(5e^{5x}\bigr) =\frac{5e^{5x}}{2\,(e^{5x}+C)}.
Por outro lado,
\frac{5}{2}\,e^{5x-2y} =\frac{5}{2}\,e^{5x}\,e^{-2y} =\frac{5}{2}\,\frac{e^{5x}}{e^{2y}} =\frac{5e^{5x}}{2\,(e^{5x}+C)},
pois e^{2y}=e^{5x}+C. Como os dois lados coincidem, a função é de fato solução da EDO.

Resposta

A solução geral é
y = \frac{1}{2}\,\ln\bigl(e^{5x}+C\bigr),
e fica verificado que, ao derivar essa expressão, obtém-se exatamente \tfrac{5}{2}e^{5x-2y}.

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