Dada a equação diferencial
(a)
Encontre a solução geral da mesma.
(b)
Mostre que a função encontrada em a) é, de fato, solução da EDO apresentada.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede (a) encontrar a solução geral e (b) verificar que essa solução satisfaz a EDO. O conteúdo principal aqui é ODE separável: vamos isolar
de um lado e
do outro, integrar e depois conferir.
Passo 2
Reescrevendo para separar variáveis, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora integramos cada lado em relação à sua variável.
Passo 3
Calculamos as integrais separadas:
Logo,
onde
é constante de integração. Multiplicando tudo por 2,
com
.
Passo 4
Tomando logaritmo e isolando
, obtemos
Essa é a solução geral da EDO.
Passo 5
Para verificar, definimos
e calculamos
Por outro lado,
pois
. Como os dois lados coincidem, a função é de fato solução da EDO.
Resposta
A solução geral é
e fica verificado que, ao derivar essa expressão, obtém-se exatamente
.