Determine se a sequência \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
(b) \left(\frac{1-n^{2}}{n^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(a_n\right)_{n\ge 1} definida por
a_n=\frac{1-n^{2}}{n^{2}}.
A pergunta é: a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona? Vou listar o que temos de informação útil:
  • Para todo n\ge 1, n^{2}>0, portanto as frações estão bem definidas.
  • Podemos reescrever a expressão em formas equivalentes que facilitam a análise (faço isso no próximo passo).

Passo 2

Reescrever a expressão de forma mais clara ajuda a entender o comportamento. Faço uma simples separação da fração:
a_n=\frac{1-n^{2}}{n^{2}}=\frac{1}{n^{2}}-1.
Aqui \frac{1}{n^{2}} é um número positivo para todo n\ge 1 e tende a 0 quando n\to\infty. Subtrair 1 desloca todos os termos em -1 sem mudar a ordem entre eles.

Passo 3

Uma maneira direta de checar monotonicidade é comparar a_{n+1} com a_n. Usando a forma reescrita:
a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{2}}-1,\qquad a_n=\frac{1}{n^{2}}-1.
Note que para todo n\ge 1 vale
\frac{1}{(n+1)^{2}}<\frac{1}{n^{2}},
porque os denominadores são positivos e (n+1)^{2}>n^{2}. Subtraindo 1 de ambos os lados (o que não altera as desigualdades), obtemos
a_{n+1}<a_n\quad\text{para todo }n\ge 1.
Isto mostra que a sequência é estritamente decrescente.

Passo 4

Para ficar seguro, faço também a verificação pela diferença (método algébrico padrão): calcular a_{n+1}-a_n e mostrar que é negativo. Usando a_n=\dfrac{1}{n^{2}}-1,
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{n^{2}} =\frac{n^{2}-(n+1)^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}} =\frac{-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
O numerador -2n-1 é negativo para todo n\ge 1 e o denominador n^{2}(n+1)^{2} é positivo, logo a razão é negativa:
a_{n+1}-a_n<0\quad\text{para todo }n\ge 1.
Isso confirma que a sequência é estritamente decrescente.

Passo 5

Para intuição rápida: os primeiros termos são
a_1=0,\quad a_2=-\tfrac{3}{4},\quad a_3=-\tfrac{8}{9},\quad a_4=-\tfrac{15}{16},\\ \ldots
os termos vão ficando cada vez mais negativos e aproximam-se de -1 (pois \lim_{n\to\infty}a_n=-1). Isso combina com o fato de que \frac{1}{n^{2}} diminui para 0, então \frac{1}{n^{2}}-1 diminui para -1.

Resposta

Estritamente decrescente.

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