Determine se a sequência
dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
A pergunta é: a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona? Vou listar o que temos de informação útil:
- Para todo
, , portanto as frações estão bem definidas. - Podemos reescrever a expressão em formas equivalentes que facilitam a análise (faço isso no próximo passo).
Passo 2
Reescrever a expressão de forma mais clara ajuda a entender o comportamento. Faço uma simples separação da fração:
Aqui
é um número positivo para todo
e tende a
quando
. Subtrair
desloca todos os termos em
sem mudar a ordem entre eles.
Passo 3
Uma maneira direta de checar monotonicidade é comparar
com
. Usando a forma reescrita:
Note que para todo
vale
porque os denominadores são positivos e
. Subtraindo
de ambos os lados (o que não altera as desigualdades), obtemos
Isto mostra que a sequência é estritamente decrescente.
Passo 4
Para ficar seguro, faço também a verificação pela diferença (método algébrico padrão): calcular
e mostrar que é negativo. Usando
,
O numerador
é negativo para todo
e o denominador
é positivo, logo a razão é negativa:
Isso confirma que a sequência é estritamente decrescente.
Passo 5
Para intuição rápida: os primeiros termos são
os termos vão ficando cada vez mais negativos e aproximam-se de
(pois
). Isso combina com o fato de que
diminui para
, então
diminui para
.
Resposta
Estritamente decrescente.