(2,0 pontos) Dada a função f(\mathrm{x}, \mathrm{y}) descrita abaixo, faça o que se pede:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{3} y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
a) Determine o maior intervalo em que a função f é contínua.
b) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função, f_{x} \mathrm{e} f_{y}.

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas são:
a) Determinar o maior conjunto (intervalo) em que f é contínua.
b) Determinar as derivadas parciais de primeira ordem f_{x} e f_{y} (ou seja, as fórmulas para \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}), tanto para (x,y)\neq(0,0) quanto no ponto (0,0) quando for o caso.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão fechada \dfrac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}} vale para todos os pontos exceto a origem, onde o denominador seria zero.
  • O valor de f no ponto (0,0) foi definido igual a 0.]

Passo 2

Continuidade fora da origem: argumento teórico e aplicação.
  • Lembrando: uma função racional (quociente de polinômios) é contínua em todo ponto onde o denominador é diferente de zero.
  • Aqui, para (x,y)\neq(0,0) tem-se denominador x^{2}+y^{2}>0, logo a função dada por \dfrac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}} é contínua em todo \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Portanto, já sabemos que f é contínua em todo ponto fora da origem.

Passo 3

Continuidade em (0,0): verificar limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) e comparar com f(0,0)=0.
Técnica prática e robusta: usar coordenadas polares porque aí a dependência do raio r aparece facilmente e facilita ver se o limite é zero independentemente da direção.
  • Em coordenadas polares: x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge0 e \theta arbitrário.
  • Substituindo na expressão para (x,y)\neq(0,0):
f(x,y)=\frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}} = \frac{(r\cos\theta)^{3}(r\sin\theta)}{r^{2}} = \frac{r^{4}\cos^{3}\theta\sin\theta}{r^{2}} = r^{2}\cos^{3}\theta\sin\theta.
  • Para r\to0^{+} (ou seja (x,y)\to(0,0)), o fator r^{2} tende a 0 e \cos^{3}\theta\sin\theta está limitado (entre -1 e 1). Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
  • Como esse limite é igual ao valor definido f(0,0)=0, concluímos que f é contínua também em (0,0).
Conclusão parcial: f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 4

Definição e ideia para derivadas parciais: antes de calcular, lembrar o que significa derivada parcial.
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) é a derivada da função obtida ao variar x mantendo y=y_{0} constante; formalmente
f_{x}(x_{0},y_{0})=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h},
quando o limite existir. Análogo para f_{y} trocando os papéis de x e y.
Para pontos (x,y)\neq(0,0) é mais prático usar as regras usuais de diferenciação (regra do quociente), tratando y como constante ao calcular \partial/\partial x, e vice-versa para \partial/\partial y.

Passo 5

Cálculo de f_{x}(x,y) para (x,y)\neq(0,0) usando regra do quociente.
  • Defina u(x,y)=x^{3}y e v(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então f=u/v.
  • Calcular derivadas parciais necessárias:
u_{x}=3x^{2}y,\qquad v_{x}=2x.
  • Aplicando a regra do quociente (para derivada em relação a x):
f_{x}=\frac{u_{x}v-uv_{x}}{v^{2}} =\frac{3x^{2}y(x^{2}+y^{2})-x^{3}y\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
  • Simplificar o numerador passo a passo:
3x^{2}y(x^{2}+y^{2})-2x^{4}y = x^{2}y\big(3(x^{2}+y^{2})-2x^{2}\big) = x^{2}y\big(x^{2}+3y^{2}\big).
  • Portanto, para (x,y)\neq(0,0) obtemos
\boxed{\,f_{x}(x,y)=\frac{x^{2}y\big(x^{2}+3y^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,.}

Passo 6

Cálculo de f_{y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0) por analogia.
  • Agora u_{y}=x^{3} e v_{y}=2y.
  • Regra do quociente:
f_{y}=\frac{u_{y}v-uv_{y}}{v^{2}} =\frac{x^{3}(x^{2}+y^{2})-x^{3}y\cdot 2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
  • Simplificar o numerador:
x^{3}(x^{2}+y^{2})-2x^{3}y^{2}=x^{3}\big((x^{2}+y^{2})-2y^{2}\big)=x^{3}(x^{2}-y^{2}).
  • Logo, para (x,y)\neq(0,0):
\boxed{\,f_{y}(x,y)=\frac{x^{3}\big(x^{2}-y^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,.}

Passo 7

Derivadas parciais no ponto (0,0) via definição (limite de diferença quociente).
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0):
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
  • Para pontos da forma (h,0) com h\neq0 temos y=0 e, usando a expressão para (x,y)\neq(0,0),
f(h,0)=\frac{h^{3}\cdot 0}{h^{2}+0}=0.
  • Então
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0):
f_{y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
  • Para pontos (0,k) com k\neq0 temos x=0 e
f(0,k)=\frac{0^{3}\cdot k}{0+k^{2}}=0.
  • Então
f_{y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k}=0.
Conclusão: ambas derivadas parciais em (0,0) existem e valem 0.

Resposta

a) A função f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
b) As derivadas parciais são
\text{para }(x,y)\neq(0,0):\qquad f_{x}(x,y)=\frac{x^{2}y\big(x^{2}+3y^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \qquad f_{y}(x,y)=\frac{x^{3}\big(x^{2}-y^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
\text{no ponto }(0,0):\qquad f_{x}(0,0)=0,\qquad f_{y}(0,0)=0.

Exercícios relacionados