Encontre os números criticos da função.
f(x)=x^1 / 3(4-x)^2 / 3

Passo 1

O enunciado pede os números críticos de
f(x)=x^1/3(4-x)^2/3
Conteúdo: derivada de função dada por produto e potências fracionárias, em que procuramos pontos em que f'(x)=0 ou f' não existe.

Passo 2

Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Seja
u(x)=x^1/3, v(x)=(4-x)^2/3
Então
u'(x)=tfrac13x^-2/3, v'(x)=tfrac23(4-x)^-1/3cdot(-1)=-tfrac23(4-x)^-1/3
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f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =tfrac13x^-2/3(4-x)^2/3-tfrac23x^1/3(4-x)^-1/3

Passo 3

Fatoramos tfrac13x^-2/3(4-x)^-1/3 em evidência:
f'(x) =tfrac13x^-2/3(4-x)^-1/3l[(4-x) -2xr] =4-3x3,x^2/3(4-x)^1/3

Passo 4

Os números críticos são os x no domínio onde f'(x)=0 ou f' não existe.
  1. f'(x)=0 quando o numerador 4-3x=0, ou seja x=tfrac43.
  2. f' não existe quando o denominador 3,x^2/3(4-x)^1/3=0, isto é em x=0 e x=4. Essas três abscissas estão no domínio de f.

Resposta

Os números críticos são
x=0, x=tfrac43, x=4

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