Determine se a sequência é ou não convergente e caso sefa incontre o limite
a_{n}=\frac{2+n^{3}}{1+2^{n^{3}}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{2+n^{3}}{1+2^{n^{3}}}
e pede para determinar se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar o seu limite. O conteúdo aqui é limite de sequência, usando que uma função exponencial de base maior que 1 cresce muito mais rápido que qualquer polinômio.

Passo 2

Note que para todo n\ge1 vale 2^{n^{3}}>0, então a_{n}>0. Além disso,
1+2^{n^{3}}\ge2^{n^{3}} \quad\Longrightarrow\quad 0\le a_{n} =\frac{2+n^{3}}{1+2^{n^{3}}} \le\frac{2+n^{3}}{2^{n^{3}}}.

Passo 3

Mostramos que
\lim_{n\to\infty}\frac{2+n^{3}}{2^{n^{3}}}=0.
Para n\ge2 temos 2\le n^{3}, logo 2+n^{3}\le2n^{3} e
0\le\frac{2+n^{3}}{2^{n^{3}}} \le\frac{2n^{3}}{2^{n^{3}}} =\frac{n^{3}}{2^{\,n^{3}-1}}.
Tomando logaritmo natural,
\ln\!\bigl(\tfrac{n^{3}}{2^{\,n^{3}-1}}\bigr) =3\ln n - (n^{3}-1)\ln2 \;\longrightarrow\;-\infty \quad(n\to\infty),
portanto \tfrac{n^{3}}{2^{\,n^{3}-1}}\to0. Pelo teorema do confronto, segue que \tfrac{2+n^{3}}{2^{n^{3}}}\to0.

Passo 4

Como 0\le a_{n}\le\frac{2+n^{3}}{2^{n^{3}}} e o limite desta última é 0, concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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