Teste a série pela convergênicia
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\ln (n)}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\ln(n)}}.
Note que \ln(1)=0 torna o primeiro termo indefinido, mas isso não altera a convergência: basta começar em n=2. Para decidir, vamos usar o crité­rio da divergência, que diz que, se
a_n=\frac{1}{\sqrt[n]{\ln(n)}}
não tende a zero, então a série diverge.

Passo 2

Calculamos o limite de \displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt[n]{\ln(n)}}.
Como
\sqrt[n]{\ln(n)} = e^{\frac{\ln\ln(n)}{n}},
segue que
a_n = e^{-\frac{\ln\ln(n)}{n}}.
Então
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}e^{-\frac{\ln\ln(n)}{n}} = e^{\,0} = 1.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_n = 1 \neq 0, a série não satisfaz a condição necessária de convergência. Portanto ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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