Teste a série pela convergênicia
\sum_{n=d}^{\infty} n^{2} e^{-n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=d}^{\infty} n^{2}e^{-n^{3}},
onde d é um índice inicial qualquer (isso não altera a convergência). Trata-se de uma série com termos
a_{n}=n^{2}e^{-n^{3}},
e vamos aplicar o teste da razão, que é adequado para séries com fator exponencial.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{(n+1)^{2}e^{-(n+1)^{3}}}{n^{2}e^{-n^{3}}} =\biggl(\frac{n+1}{n}\biggr)^{2} e^{-\bigl[(n+1)^{3}-n^{3}\bigr]}.
Como
(n+1)^{3}-n^{3}=3n^{2}+3n+1,
temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{2}e^{-(3n^{2}+3n+1)}.
Para n\to\infty, \bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{2}\to1 e e^{-(3n^{2}+3n+1)}\to0, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=0.

Passo 3

O valor-limite da razão L=0 satisfaz L<1, portanto o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série \sum_{n=d}^{\infty}n^{2}e^{-n^{3}} converge (absolutamente).

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