Determine se a sequência a seguir converge ou não converge encontrando seu limite:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a sequência $ \left{\frac{6n}{2n + 4}\right}_{n=1}^{+\infty} $ converge, ou seja, se ela se aproxima de algum número conforme $ n $ vai ficando bem grande. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, que nos ajudam a entender o comportamento das sequências quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão da sequência: $ \frac{6n}{2n + 4} $. O objetivo é encontrar o limite dessa fração quando $ n $ cresce bastante, ou seja, quando $ n $ se aproxima de $ +\infty $.
Passo 3
Para facilitar a análise, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por $ n $, que é a maior potência de $ n $ presente na expressão. Isso nos ajuda a simplificar a fração e identificar quais termos realmente importam quando $ n $ é muito grande.
Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos observar o que acontece com cada parte da nova expressão quando $ n $ tende a $ +\infty $:
- $ \frac{4}{n} $ tende a 0, porque qualquer número dividido por um número muito grande fica próximo de zero.
Portanto, a expressão fica:
Resposta
A sequência $ \left{\frac{6n}{2n + 4}\right} $ converge e o seu limite é 3.