3-6. Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
6. sumk=1^+infty(-1)^k ln kk

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série alternada sumk=1^infty(-1)^kln kk. O conteúdo é o teste de Leibniz para séries alternadas e também a questão de convergência absoluta. Vamos precisar mostrar que os termos em valor absoluto tendem a zero, que são monótonos para k grande e, por fim, verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Definimos ak = ln kk. Primeiro, note que ak>0 e calcular o limite:
limktoinftyak = limktoinftyln kk = 0
Isso porque o log cresce mais devagar que a função linear.

Passo 3

Para aplicar o critério de Leibniz, precisamos que ak seja eventualmente monótono decrescente. Considere a função f(x)=ln xx para x>1. Temos
f'(x)=1-ln xx^2,
que é negativo quando x>e. Logo, para k>= 3, ak é decrescente.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz, como ak>0, ak tende a zero e é decrescente para k grande, a série alternada sum(-1)^k ak converge.

Passo 5

Para verificar se a convergência é absoluta, analisamos
sumk=1^infty |(-1)^kln kk| = sumk=1^infty ln kk
Usando o teste da integral,
integral1^inftyln xxdx = (ln x)^22|1^infty = infty,
o que mostra divergência.

Passo 6

Portanto a série converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente, ou seja, é convergência condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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