3-6. Determine se a série alternada converge e justifique sua resposta.
6.
6.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série alternada
. O conteúdo é o teste de Leibniz para séries alternadas e também a questão de convergência absoluta. Vamos precisar mostrar que os termos em valor absoluto tendem a zero, que são monótonos para
grande e, por fim, verificar a convergência absoluta.
Passo 2
Definimos
. Primeiro, note que
e calcular o limite:
Isso porque o log cresce mais devagar que a função linear.
Passo 3
Para aplicar o critério de Leibniz, precisamos que
seja eventualmente monótono decrescente. Considere a função
para
. Temos
que é negativo quando
. Logo, para
,
é decrescente.
Passo 4
Pelo critério de Leibniz, como
,
tende a zero e é decrescente para
grande, a série alternada
converge.
Passo 5
Para verificar se a convergência é absoluta, analisamos
Usando o teste da integral,
o que mostra divergência.
Passo 6
Portanto a série converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente, ou seja, é convergência condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente.