Identifique a série e determine se ela converge ou diverge. Se convergir encontre sua soma:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita representada por:
A matéria envolvida aqui é Séries Geométricas. Para resolver, vamos precisar identificar se essa série é uma série geométrica e, se for convergente, calcular sua soma.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral da série para ver se conseguimos identificar uma série geométrica. O termo geral é:
Podemos reescrever isso da seguinte forma:
Passo 3
Agora que simplificamos, a série fica:
Isso é claramente uma série geométrica, onde cada termo é o primeiro termo multiplicado por uma razão comum elevada à potência .
Passo 4
Em uma série geométrica da forma:
é o primeiro termo da série.
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, temos:
Passo 5
Para determinar se a série converge ou diverge, precisamos verificar o valor absoluto da razão :
Se |r| < 1, a série converge. Se |r| >= 1, a série diverge.
Passo 6
Como |r| = 89 < 1, a série converge. Agora, vamos calcular a soma da série.
Para uma série geométrica convergente, a soma é dada por: