Identifique a série e determine se ela converge ou diverge. Se convergir encontre sua soma:
sumk=0^+infty 2^3 k 9^1-k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita representada por:
sumk=0^+infty 2^3 k 9^1-k
A matéria envolvida aqui é Séries Geométricas. Para resolver, vamos precisar identificar se essa série é uma série geométrica e, se for convergente, calcular sua soma.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral da série para ver se conseguimos identificar uma série geométrica. O termo geral é:
2^3k cdot 9^1 - k
Podemos reescrever isso da seguinte forma:
2^3k cdot 9^1 cdot 9^-k = 9 cdot (2^3)^k cdot 9^-k = 9 cdot (89)^k

Passo 3

Agora que simplificamos, a série fica:
sumk=0^+infty 9 cdot (89)^k
Isso é claramente uma série geométrica, onde cada termo é o primeiro termo multiplicado por uma razão comum elevada à potência k.

Passo 4

Em uma série geométrica da forma:
sumk=0^+infty a cdot r^k
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, temos:
  • a = 9
  • r = 89

Passo 5

Para determinar se a série converge ou diverge, precisamos verificar o valor absoluto da razão r:
|r| = |89| = 89
Se |r| < 1, a série converge. Se |r| >= 1, a série diverge.

Passo 6

Como |r| = 89 < 1, a série converge. Agora, vamos calcular a soma da série.
Para uma série geométrica convergente, a soma é dada por:
S = a1 - r

Passo 7

Substituindo os valores de a e r:
S = 91 - 89 = 919 = 9 times 9 = 81

Resposta

A série converge e sua soma é 81.

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